Integreerimine silindrilistes koordinaatides (r,θ,z){displaystyle (r,theta,z)} on polaarkoordinaatide lihtne laiendus kahest mõõtmest kolmele. See koordinaatsüsteem töötab kõige paremini silindrite või silindriliste objektide integreerimisel. Nagu sfääriliste koordinaatide puhul, on ka silindrilistel koordinaatidel kasu muutujate vahelise sõltuvuse puudumisest, mis võimaldab hõlpsat faktooringut.
1
Arvutage silindri ruumala raadiusega R ja kõrgusega h. Valige selline koordinaatsüsteem, et silindri radiaalne kese toetub z-teljele. Arvutuste lihtsustamiseks on silindri põhi z=0{displaystyle z=0} tasapinnal.∫Vrdrdθdz=∫0Rrdr∫02Ï€dθ∫0hdz=(12R2)(2Ï€) (h)=Ï€R2h{displaystyle {begin{aligned}int _{V}rmathrm {d} rmathrm {d} theta mathrm {d} z&=int _{0}^ {R}rmathrm {d} rint _{0}^{2pi }mathrm {d} theta int _{0}^{h}mathrm {d} z\&= vasak({frac {1}{2}}R^{2}right)(2pi )(h)\&=pi R^{2}hend{aligned}}}Pange tähele, et me oleks võinud integraalid ära vahetada. Lõpptulemus oleks sama. Kuid üldisematel juhtudel ei jää piirid samaks, seega on integreerimise järjekord oluline.
2
Arvutage parempoolse ringkoonuse inertsimoment. See koonus on tsentreeritud z-teljele, tipp on alguspunktis, kuid pöörleb x-telje suhtes. Teisisõnu, see pöörleb külgsuunas, sarnaselt sellele, kuidas tuletorni kiir pöörleb. Oletame, et selle koonuse kõrgus on h, {displaystyle h,} raadius a,{displaystyle a,} mass M,{displaystyle M,} ja konstantne tihedus σ.{displaystyle sigma .}Enamik inertsmomendi küsimusi on kirjutatud vastustega M{displaystyle M} ja R{displaystyle R} (selles näites a{displaystyle a}), kuid kuna koonus nõuab ka määratud kõrgust, on termin h{ displaystyle h} ka selles.
3
Tuletage meelde inertsimomenti. I=∫Mr2dm,{displaystyle I=int _{M}r^{2}mathrm {d} m,} kus r=y2+z2{displaystyle r={ sqrt {y^{2}+z^{2}}}} on risti kaugus teljest (koonus pöörleb ümber x-telje) ja me integreerime massi M.{displaystyle M.}
4
Tuletage meelde seost massi, ruumala ja tiheduse vahel, kui tihedus on konstantne.σ=MV.{displaystyle sigma ={frac {M}{V}}.} Loomulikult teame koonuse ruumala 13π a2h,{displaystyle {frac {1}{3}}pi a^{2}h,} soσ=3Mπa2h.{displaystyle sigma ={frac {3M}{pi a^{2 }h}}.}
5
Saavutage piirid. Siin seisame silmitsi dilemmaga – me ei integreeri üle silindri, vaid koonuse. Selle asemel pange tähele seoseid integratsiooni muutujate vahel. Kui z{displaystyle z} suureneb, suureneb ka r{displaystyle r}. Seetõttu on integratsioonis muutuv sõltuvus ja üks piiridest ei ole enam konstant. Tuletage meelde koonuse võrrand.z2h2=x2a2+y2b2{displaystyle {frac {z^{2}}{h^ {2}}}={frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}}Koonus on ringikujuline, nii et b=a.{displaystyle b=a.} Seejärel teisendage silindrilisteks koordinaatideks.z2h2=r2a2{displaystyle {frac {z^{2}}{h^{2}}}={frac {r^ {2}}{a^{2}}}}Lahendage kas raadius või kõrgus. Mõlemad juhtumid on täiesti samaväärsed, kuid olge sellest tulenevate piiride suhtes ettevaatlik, sest need ei ole samad. Me lahendame raadiuse ja arvutame saadud integraali. Vaadake näpunäiteid integraali arvutamiseks pärast probleemi height.r=azh{displaystyle r={frac {az}{h}}} lahendamist. Seejärel integreerib z{displaystyle z} vahemikust 0{displaystyle 0} kuni h, {displaystyle h,} ja r{displaystyle r} lähevad väärtusest 0{displaystyle 0} kuni azh.{displaystyle {frac {az}{h}}.} Pange tähele, et integreeritava objekti olemus toob muutuv sõltuvus piirides. Sel juhul, pärast kõrguse integreerimist, sõltub raadiuse integraali ülemine piir muutujast z{displaystyle z}.
6
Kirjutage inertsimomendi integraal ümber ruumala integraaliks, seejärel lahendage. Piiride arvutamise viisi tõttu on siin oluline integraalide järjekord. Pange tähele ka konstandid, mis faktorid out.dm=σdV,{displaystyle mathrm {d} m=sigma mathrm {d} V,} seega,Ix=∫V(y2+z2)3MÏ€a2hdV=3MÏ€ a2h∫0hdz∫0azhrdr∫02Ï€dθ(r2sin2â¡Î¸+z2).{displaystyle {begin{aligned}I_{x}&=int _{V}(y^{2}+z^ {2}){frac {3M}{pi a^{2}h}}mathrm {d} V\&={frac {3M}{pi a^{2}h}}int _{0}^{h}mathrm {d} zint _{0}^{frac {az}{h}}rmathrm {d} rint _{0}^{2pi } mathrm {d} theta (r^{2}sin ^{2}theta +z^{2}).end{aligned}}}Pange tähele, et kuigi silindrilistel koordinaatidel ei ole nii palju muutuvat sõltuvust integrand nagu ka Descartes’i koordinaadid, see ei tähenda, et sõltuvus kaob. Sarnaselt Descartes’i integraalidele peame käsitsi integreerima ükshaaval.Ix=3MÏ€a2h∫0hdz∫0azhrdr(Ï€r2+2Ï€z2)=3Ma2h∫0hdz∫0azhdr(r3+2z2r∈«0Ma2hz[) 14(azh)4+z2(azh)2]=3Ma2h(a2h2)∫0hdz(a24h2+1)z4=3Mh3(a24h2+1)15h5=35Mh2(a24h2+1)=35Mh2+320Ma2 {.{displaystyle begin{aligned}I_{x}&={frac {3M}{pi a^{2}h}}int _{0}^{h}mathrm {d} zint _{0} ^{frac {az}{h}}rmathrm {d} r(pi r^{2}+2pi z^{2})\&={frac {3M}{a^{ 2}h}}int _{0}^{h}mathrm {d} zint _{0}^{frac {az}{h}}mathrm {d} r(r^{3} +2z^{2}r)\&={frac {3M}{a^{2}h}}int _{0}^{h}mathrm {d} zleft[{frac { 1}{4}}left({frac {az}{h}}right)^{4}+z^{2}left({frac {az}{h}}right)^{ 2}right]\&={frac {3M}{a^{2}h}}left({frac {a^{2}}{h^{2}}}right)int _{0}^{h}mathrm {d} zleft({frac {a^{2}}{4h^{2}}}+1right)z^{4}\&={ frac {3M}{h^{3}}}left({frac {a^{2}}{4h^{2}}}+1right){frac {1}{5}}h ^{5}\&={frac {3}{5}}Mh^{2}left({frac {a^{2}}{4h^{2}}}+1right) &={frac {3}{5}}Mh^{2}+{frac {3}{20}}Ma^{2}.end{joondatud}}}