Sfääriliste koordinaatidega integreerimine toimub tavaliselt siis, kui tegemist on sfääriliste või sfääriliste objektidega. Selle koordinaatsüsteemi suureks eeliseks on muutujate vahelise sõltuvuse peaaegu täielik puudumine, mis võimaldab enamikul juhtudel hõlpsat faktooringut. Selles artiklis kasutatakse matemaatiku tavasid koordinaatide märgistamisel (Ï,θ,Ï•),{ displaystyle (rho ,theta ,phi ),} kus Ï{displaystyle rho } on radiaalne kaugus, θ{displaystyle theta } on asimuutnurk ja Ï•{displaystyle phi } on polaarnurk. Füüsikas vahetatakse nurki (kuid kirjutatakse ikka välja selles järjekorras).
1
Arvutage sfääri ruumala raadiusega r. Valige selline koordinaatsüsteem, et sfääri keskpunkt toetuks lähtepunktile. 0Ï€sinâ¡Ï•dϕ∫02Ï€dθ=(13r3)(−cosâ¡¡Ï€+cosâ¡0)(2Ï€)=43Ï€r3{displaystyle {begin{align} int _{V}rho ^{2}sin phi mathrm {d} rho mathrm {d} phi mathrm {d} theta &=int _{0}^{r} rho ^{2}mathrm {d} rho int _{0}^{pi }sin phi mathrm {d} phi int _{0}^{2pi }mathrm {d } theta \&=left({frac {1}{3}}r^{3}right)(-cos pi +cos 0)(2pi )\&={ frac {4}{3}}pi r^{3}end{joondatud}}}
2
Arvutage kuuli inertsimoment. Oletame, et selle kuuli mass on M, {displaystyle M,} raadius R,{displaystyle R,} ja konstantne tihedus σ.{displaystyle sigma .} Enamik inertsmomendi küsimusi on koos vastustega M{ displaystyle M} ja R.{displaystyle R.}
3
Tuletage meelde inertsivalemi moment.I=∫Mr2dm,{displaystyle I=int _{M}r^{2}mathrm {d} m,} kus r=x2+y2{displaystyle r={ sqrt {x^{2}+y^{2}}}} on risti kaugus teljest (valime z-telje) ja me integreerime massi M.{displaystyle M.}
4
Tuletage meelde seost massi, ruumala ja tiheduse vahel, kui tihedus on konstantne.σ=MV.{displaystyle sigma ={frac {M}{V}}.} Muidugi teame sfääri ruumala, seega σ =3M4Ï€R3.{displaystyle sigma ={frac {3M}{4pi R^{3}}}.}
5
Kirjutage inertsimoment ümber ruumala integraalina, seejärel lahendage. Märkige üles konstandid, mis arvestavad välja.dm=σdV,{displaystyle mathrm {d} m=sigma mathrm {d} V,} seega Iz=∫V(x2+y2)3M4Ï€R3dV=3M4Ï€R3∠«0RÏ2dÏ∫0Ï€sinâ¡Ï•dϕ∫02Ï€dθÏ2sin2â¡Ï•=3M4Ï€R3∫0RÏ4dÏ∈∡¡Ï∈â¡Ï•dÏ•ˆ«0Ï «02Ï€dθ=3M4Ï€R3(15R5)(2Ï€)∫0Ï€(1−cos2â¡Ï•)sinâ¡Ï•dÏ•,u=cosâ¡¡Ï•=310MR2’11∈ (1−u2)du=310MR2(2)(1−13)=25MR2{displaystyle {begin{align}I_{z}&=int _{V}(x^{2}+y^{2 }){frac {3M}{4pi R^{3}}}mathrm {d} V\&={frac {3M}{4pi R^{3}}}int _{ 0}^{R}rho ^{2}mathrm {d} rho int _{0}^{pi }sin phi mathrm {d} phi int _{0}^{2 pi }mathrm {d} theta rho ^{2}sin ^{2}phi \&={frac {3M}{4pi R^{3}}}int _{0 }^{R}rho ^{4}mathrm {d} rho int _{0}^{pi }sin ^{3}phi mathrm {d} phi int _{0} ^{2pi }mathrm {d} theta \&={frac {3M}{4pi R^{3}}}left({frac {1}{5}}R^{ 5}right)(2pi )int _{0}^{pi }(1-cos ^{2}phi )sin phi mathrm {d} phi ,u=cos phi \&={frac {3}{10}}MR^{2}int _{-1}^{1}(1-u^{2})mathrm {d} u\&= {frac {3}{10}}MR^{2}(2)left(1-{f rac {1}{3}}right)\&={frac {2}{5}}MR^{2}end{aligned}}}Pange tähele, et sammus, kus integraal kirjutatakse u,{displaystyle u,} integrand on paarisfunktsioon. Seetõttu saame arvutuste lihtsustamiseks arvestada 2-ga ja määrata alumiseks piiriks 0.