Kuidas integreerida osaliste murdude järgi

Kui integreerida nimetajasse polünoome sisaldavaid funktsioone, saab integreerimise lihtsustamiseks kasutada osamurrusid. Uutel arvutusüliõpilastel on mugav õppida funktsioone osalisteks murdudeks jaotama mitte ainult integreerimiseks, vaid ka edasijõudnute jaoks.

1
Kõigist nimetajatest vabanemiseks korrutage mõlemad pooled algse murru nimetajaga. Pange tähele, et praegu on parem pool tegurdatud koefitsientidega.3x−4=A(x+2)+B(x−3){displaystyle 3x-4=A(x+2)+B(x-3) }

2
Laienda ja faktori. Koefitsientide A{displaystyle A} ja B,{displaystyle B,} asemel faktoriseerime x astmetega.{displaystyle x.}3x−4=Ax+2A+Bx−3B=(A+B )x+(2A−3B){displaystyle 3x-4=Ax+2A+Bx-3B=(A+B)x+(2A-3B)}

3
Seadke koefitsiendid mõlemale poolele võrdseks. Kuna mõlemad pooled on võrdsed, tähendab see, et x{displaystyle x} liikmete koefitsiendid on võrdsed. Saame võrrandisüsteemi, kus võrrandite arv sõltub selle nimetaja astmest, millega alustasite.A+B=32A−3B=−4{displaystyle {begin{aligned}A+B&=3 \2A-3B&=-4end{joondatud}}}

4
Lahendage kõik konstandid.A=3−B{displaystyle A=3-B}2A−3B=−42(3−B)−3B=−46−5B=−4B=2{displaystyle { begin{aligned}2A-3B&=-4\2(3-B)-3B&=-4\6-5B&=-4\B&=2end{aligned}}}A=3−2= 1{displaystyle A=3-2=1}

5
Ühendage koefitsiendid lagunenud murdudega. Meie integraal on nüüd hindamiseks valmis, sest me teame integraali 1x.{displaystyle {frac {1}{x}}.}∫3x−4×2−x−6dx=∫(x+1)dx+∠«1x−3dx+∫2x+2dx{displaystyle int {frac {3x-4}{x^{2}-x-6}}mathrm {d} x=int (x+1) mathrm {d} x+int {frac {1}{x-3}}mathrm {d} x+int {frac {2}{x+2}}mathrm {d} x}

6
Integreerida. Kuigi u-subide tegemine on väga lihtne, on siiski soovitatav näidata kogu oma tööd, kui te pole veel seda tüüpi integraalide tegemisega tuttav.∫3x−4×2−x−6dx=12×2+x+lnâ ¡|x−3|+2lnâ¡|x+2|+c{displaystyle int {frac {3x-4}{x^{2}-x-6}}mathrm {d} x={ frac {1}{2}}x^{2}+x+ln |x-3|+2ln |x+2|+c}

7
Korrutage mõlemad pooled arvuga (x−3){displaystyle (x-3)} ja ühendage x=3{displaystyle x=3}. Pange tähele, et termin, milles on B{displaystyle B}, läheb 0-ks, kuid A{displaystyle A} mitte. Lisaks tagab kõigi selle teguriga korrutamine, et me ei saa 0-ga jagamist.3x−4(x−3)(x+2)=Ax−3+Bx+2{displaystyle {frac {3x -4}{(x-3)(x+2)}}={frac {A}{x-3}}+{frac {B}{x+2}}}3x−4x+2=A +B(x−3)x+2{displaystyle {frac {3x-4}{x+2}}=A+{frac {B(x-3)}{x+2}}}A=3 (3)−4(3)+2=1{displaystyle A={frac {3(3)-4}{(3)+2}}=1}See on palju tõhusam meetod probleemide lahendamiseks koefitsiente seni, kuni mõtleme, millised terminid saadetakse 0-le. Tehniliselt võtame nende väärtuste asendamisel piirmäärad. Kuid kuna meie funktsioonidega on lihtne töötada (polünoomid), ei pea me muretsema keeruliste katkestusprobleemide pärast.

8
Korrutage mõlemad pooled arvuga (x+2){displaystyle (x+2)} ja ühendage x=−2{displaystyle x=-2}. See lahendab B.{displaystyle B.} Üldiselt korrutame teguriga ja sisestame juurväärtuse. See lahendab selle murdosa koefitsiendi, mille nimetajas on see tegur.3x−4x−3=A(x+2)x−3+B{displaystyle {frac {3x-4}{x-3}}={ frac {A(x+2)}{x-3}}+B}B=3(−2)−4(−2)−3=2{displaystyle B={frac {3 (-2)-4}{(-2)-3}}=2}

9
Ühendage koefitsiendid lagunenud murdudega ja integreerige.∫3x−4×2−x−6dx=12×2+x+lnâ¡|x−3|+2lnâ¡|x+2|+c{displaystyle int { frac {3x-4}{x^{2}-x-6}}mathrm {d} x={frac {1}{2}}x^{2}+x+ln |x-3|+ 2ln |x+2|+c}

10
Mõelge allolevale integraalile. Kasutame eelmist näidet funktsioonist, mille nimetaja tegurid on kordsusega 3, kuid meie lugeja on veidi erinev.∫x2−4x+9(x+2)3dx=∫(A(x+2)3+ B(x+2)2+Cx+2)dx{displaystyle int {frac {x^{2}-4x+9}{(x+2)^{3}}}mathrm {d} x =int left({frac {A}{(x+2)^{3}}}+{frac {B}{(x+2)^{2}}}+{frac {C} {x+2}}right)mathrm {d} x}

11
Korrutage mõlemad pooled arvuga (x+2)3{displaystyle (x+2)^{3}}. See annab meile kohe A{displaystyle A}, kui ühendame x=−2.{displaystyle x=-2.}x2−4x+9=A+B(x+2)+C(x+2) 2{displaystyle x^{2}-4x+9=A+B(x+2)+C(x+2)^{2}}A=(−2)2−4(−2)+ 9=21{displaystyle A=(-2)^{2}-4(-2)+9=21}Kuid leiame, et B{displaystyle B} ja C{displaystyle C} ei saa otse hankida.

12
Tehke üks kord vahet ja ühendage x=−2{displaystyle x=-2}, et saada B{displaystyle B}. Alustame sellest, kus me oleme.x2−4x+9=A+B(x+2)+C (x+2)2{displaystyle x^{2}-4x+9=A+B(x+2)+C(x+2)^{2}}Näeme, et suurim termin, mis sisaldab B{ displaystyle B} on termin, millel on x.{displaystyle x.} Kui me eristame mõlemat poolt, teame võimsusreegli järgi, et kõik, mis jääb, on konstant. Vahepeal kaob A{displaystyle A}, kuna see on juba konstant. Mida C{displaystyle C} teeb? Võime teha C tuletise,{displaystyle C,} või saame aru, et olenemata sellest, mis see ka poleks, on tuletis ikkagi (x+2){displaystyle (x+2)}, nii et pärast seda plug in x=−2,{displaystyle x=-2,} kaob ka termin koos C{displaystyle C}-ga.2x−4=B+2C(x+2){displaystyle 2x-4=B +2C(x+2)}B=2(−2)−4=−8{displaystyle B=2(-2)-4=-8}

13
Eristage uuesti ja ühendage x=−2{displaystyle x=-2}, et saada C{displaystyle C}. Kahekordne eristamine saadab nii A{displaystyle A} kui ka B{displaystyle B} väärtuseks 0, samas kui üle jääb ainult C{displaystyle C}. Olge koefitsiendiga siiski ettevaatlik.2=2C→C=1{displaystyle 2=2Cto C=1}

14
Ühendage koefitsiendid lagundatud murdudega ja integreerige.∫x2−4x+9(x+2)3dx=∫(21(x+2)3+−8(x+2)2+1x+2)dx =−2121(x+2)2+8x+2+lnâ¡|x+2|+c{displaystyle {begin{align}int {frac {x^{2}-4x+9} {(x+2)^{3}}}mathrm {d} x&=int left({frac {21}{(x+2)^{3}}}+{frac {-8} {(x+2)^{2}}}+{frac {1}{x+2}}right)mathrm {d} x\&=-{frac {21}{2}}{ frac {1}{(x+2)^{2}}}+{frac {8}{x+2}}+ln |x+2|+cend{joondatud}}}