Kui integreerida nimetajasse polünoome sisaldavaid funktsioone, saab integreerimise lihtsustamiseks kasutada osamurrusid. Uutel arvutusüliõpilastel on mugav õppida funktsioone osalisteks murdudeks jaotama mitte ainult integreerimiseks, vaid ka edasijõudnute jaoks.
1
Kõigist nimetajatest vabanemiseks korrutage mõlemad pooled algse murru nimetajaga. Pange tähele, et praegu on parem pool tegurdatud koefitsientidega.3x−4=A(x+2)+B(x−3){displaystyle 3x-4=A(x+2)+B(x-3) }
2
Laienda ja faktori. Koefitsientide A{displaystyle A} ja B,{displaystyle B,} asemel faktoriseerime x astmetega.{displaystyle x.}3x−4=Ax+2A+Bx−3B=(A+B )x+(2A−3B){displaystyle 3x-4=Ax+2A+Bx-3B=(A+B)x+(2A-3B)}
3
Seadke koefitsiendid mõlemale poolele võrdseks. Kuna mõlemad pooled on võrdsed, tähendab see, et x{displaystyle x} liikmete koefitsiendid on võrdsed. Saame võrrandisüsteemi, kus võrrandite arv sõltub selle nimetaja astmest, millega alustasite.A+B=32A−3B=−4{displaystyle {begin{aligned}A+B&=3 \2A-3B&=-4end{joondatud}}}
4
Lahendage kõik konstandid.A=3−B{displaystyle A=3-B}2A−3B=−42(3−B)−3B=−46−5B=−4B=2{displaystyle { begin{aligned}2A-3B&=-4\2(3-B)-3B&=-4\6-5B&=-4\B&=2end{aligned}}}A=3−2= 1{displaystyle A=3-2=1}
5
Ühendage koefitsiendid lagunenud murdudega. Meie integraal on nüüd hindamiseks valmis, sest me teame integraali 1x.{displaystyle {frac {1}{x}}.}∫3x−4×2−x−6dx=∫(x+1)dx+∠«1x−3dx+∫2x+2dx{displaystyle int {frac {3x-4}{x^{2}-x-6}}mathrm {d} x=int (x+1) mathrm {d} x+int {frac {1}{x-3}}mathrm {d} x+int {frac {2}{x+2}}mathrm {d} x}
6
Integreerida. Kuigi u-subide tegemine on väga lihtne, on siiski soovitatav näidata kogu oma tööd, kui te pole veel seda tüüpi integraalide tegemisega tuttav.∫3x−4×2−x−6dx=12×2+x+lnâ ¡|x−3|+2lnâ¡|x+2|+c{displaystyle int {frac {3x-4}{x^{2}-x-6}}mathrm {d} x={ frac {1}{2}}x^{2}+x+ln |x-3|+2ln |x+2|+c}
7
Korrutage mõlemad pooled arvuga (x−3){displaystyle (x-3)} ja ühendage x=3{displaystyle x=3}. Pange tähele, et termin, milles on B{displaystyle B}, läheb 0-ks, kuid A{displaystyle A} mitte. Lisaks tagab kõigi selle teguriga korrutamine, et me ei saa 0-ga jagamist.3x−4(x−3)(x+2)=Ax−3+Bx+2{displaystyle {frac {3x -4}{(x-3)(x+2)}}={frac {A}{x-3}}+{frac {B}{x+2}}}3x−4x+2=A +B(x−3)x+2{displaystyle {frac {3x-4}{x+2}}=A+{frac {B(x-3)}{x+2}}}A=3 (3)−4(3)+2=1{displaystyle A={frac {3(3)-4}{(3)+2}}=1}See on palju tõhusam meetod probleemide lahendamiseks koefitsiente seni, kuni mõtleme, millised terminid saadetakse 0-le. Tehniliselt võtame nende väärtuste asendamisel piirmäärad. Kuid kuna meie funktsioonidega on lihtne töötada (polünoomid), ei pea me muretsema keeruliste katkestusprobleemide pärast.
8
Korrutage mõlemad pooled arvuga (x+2){displaystyle (x+2)} ja ühendage x=−2{displaystyle x=-2}. See lahendab B.{displaystyle B.} Üldiselt korrutame teguriga ja sisestame juurväärtuse. See lahendab selle murdosa koefitsiendi, mille nimetajas on see tegur.3x−4x−3=A(x+2)x−3+B{displaystyle {frac {3x-4}{x-3}}={ frac {A(x+2)}{x-3}}+B}B=3(−2)−4(−2)−3=2{displaystyle B={frac {3 (-2)-4}{(-2)-3}}=2}
9
Ühendage koefitsiendid lagunenud murdudega ja integreerige.∫3x−4×2−x−6dx=12×2+x+lnâ¡|x−3|+2lnâ¡|x+2|+c{displaystyle int { frac {3x-4}{x^{2}-x-6}}mathrm {d} x={frac {1}{2}}x^{2}+x+ln |x-3|+ 2ln |x+2|+c}
10
Mõelge allolevale integraalile. Kasutame eelmist näidet funktsioonist, mille nimetaja tegurid on kordsusega 3, kuid meie lugeja on veidi erinev.∫x2−4x+9(x+2)3dx=∫(A(x+2)3+ B(x+2)2+Cx+2)dx{displaystyle int {frac {x^{2}-4x+9}{(x+2)^{3}}}mathrm {d} x =int left({frac {A}{(x+2)^{3}}}+{frac {B}{(x+2)^{2}}}+{frac {C} {x+2}}right)mathrm {d} x}
11
Korrutage mõlemad pooled arvuga (x+2)3{displaystyle (x+2)^{3}}. See annab meile kohe A{displaystyle A}, kui ühendame x=−2.{displaystyle x=-2.}x2−4x+9=A+B(x+2)+C(x+2) 2{displaystyle x^{2}-4x+9=A+B(x+2)+C(x+2)^{2}}A=(−2)2−4(−2)+ 9=21{displaystyle A=(-2)^{2}-4(-2)+9=21}Kuid leiame, et B{displaystyle B} ja C{displaystyle C} ei saa otse hankida.
12
Tehke üks kord vahet ja ühendage x=−2{displaystyle x=-2}, et saada B{displaystyle B}. Alustame sellest, kus me oleme.x2−4x+9=A+B(x+2)+C (x+2)2{displaystyle x^{2}-4x+9=A+B(x+2)+C(x+2)^{2}}Näeme, et suurim termin, mis sisaldab B{ displaystyle B} on termin, millel on x.{displaystyle x.} Kui me eristame mõlemat poolt, teame võimsusreegli järgi, et kõik, mis jääb, on konstant. Vahepeal kaob A{displaystyle A}, kuna see on juba konstant. Mida C{displaystyle C} teeb? Võime teha C tuletise,{displaystyle C,} või saame aru, et olenemata sellest, mis see ka poleks, on tuletis ikkagi (x+2){displaystyle (x+2)}, nii et pärast seda plug in x=−2,{displaystyle x=-2,} kaob ka termin koos C{displaystyle C}-ga.2x−4=B+2C(x+2){displaystyle 2x-4=B +2C(x+2)}B=2(−2)−4=−8{displaystyle B=2(-2)-4=-8}
13
Eristage uuesti ja ühendage x=−2{displaystyle x=-2}, et saada C{displaystyle C}. Kahekordne eristamine saadab nii A{displaystyle A} kui ka B{displaystyle B} väärtuseks 0, samas kui üle jääb ainult C{displaystyle C}. Olge koefitsiendiga siiski ettevaatlik.2=2C→C=1{displaystyle 2=2Cto C=1}
14
Ühendage koefitsiendid lagundatud murdudega ja integreerige.∫x2−4x+9(x+2)3dx=∫(21(x+2)3+−8(x+2)2+1x+2)dx =−2121(x+2)2+8x+2+lnâ¡|x+2|+c{displaystyle {begin{align}int {frac {x^{2}-4x+9} {(x+2)^{3}}}mathrm {d} x&=int left({frac {21}{(x+2)^{3}}}+{frac {-8} {(x+2)^{2}}}+{frac {1}{x+2}}right)mathrm {d} x\&=-{frac {21}{2}}{ frac {1}{(x+2)^{2}}}+{frac {8}{x+2}}+ln |x+2|+cend{joondatud}}}