Kardinaalsiinusfunktsioon, tuntud ka kui sinc-funktsioon, on funktsioon sincâ¡¡x={sinâ¡xxif x≠0,    ‰ x=0.{displaystyle operaatorinimi {sinc} x={begin {cases}{dfrac {sin x}{x}}&{text{if }}xneq 0,\ 1&{text{if }}x=0.end{cases} }}See funktsioon ilmub sageli esimesena piirmäärade hindamise näitena ja on hästi teada, et limx→0sinâ¡¡xx=1;{displaystyle lim _{xto 0}{frac { sin x}{x}}=1;}, miks funktsioon 0 on defineeritud selle piirväärtusena. See funktsioon leiab aga laiemat rakendust eelkõige signaalianalüüsis ja sellega seotud valdkondades. Näiteks ristkülikukujulise impulsi Fourier’ teisendus on sinc-funktsioon. Selle funktsiooni integraali hindamine on üsna keeruline, kuna sinc-funktsiooni antiderivatiivi ei saa väljendada elementaarfunktsioonide kaudu. See tähendab, et me ei saa arvutamise põhiteoreemi otseselt rakendada. Selle asemel kasutame Richard Feynmani nippi integraali all eristamiseks. Näitame ka üldisemat lahendust jääkide teooria abil.
1
Alustage hinnatavast integraalist. Me hindame kogu tegelikku joont, nii et piirid on positiivsed ja negatiivsed lõpmatus. Ülal on funktsiooni visualiseerimine mõlema definitsiooniga – normaliseerimata (punane) ja normaliseeritud (sinine). Hindame normaliseerimata funktsiooni sinc.∫−∞∞sinâ¡xxdx{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {sin x}{x}}mathrm {d} x}Näeme graafikult, et sinâ¡xx{displaystyle {frac {sin x}{x}}} on paarisfunktsioon, mida saab kinnitada ülaltoodud funktsiooniga. Seejärel saame välja arvutada 2.2∫0∞sinâ¡¡xxdx{displaystyle 2int _{0}^{infty }{frac {sin x}{x}}mathrm {d} x}Integraal ülalpool, mille piirid on 0 kuni lõpmatus, on tuntud ka kui Dirichleti integraal.
2
Defineerige funktsioon G(t){displaystyle G(t)}. Sellise funktsiooni argumendiga t{displaystyle t} määratlemise eesmärk on see, et saaksime töötada integraaliga, mida on lihtsam hinnata, täites samas integraali sinc tingimused t sobivate väärtuste jaoks.{displaystyle t. } Teisisõnu, termini e−tx{displaystyle e^{-tx}} panemine integraali sisse on kehtiv, kuna integraal koondub kõigi t≥0,{displaystyle tgeq 0,} korral t seadistamise ajal. =0{displaystyle t=0} taastab algse integraali. See ümbersõnastus tähendab, et me hindame lõpuks G(0).{displaystyle G(0).}G(t)=∫0∞sinâ¡xxe−txdx{displaystyle G(t)=int _{0}^ {infty }{frac {sin x}{x}}e^{-tx}mathrm {d} x}
3
Erista integraali all. Tuletise saame teisaldada integreerimismärgi alla, kuna integraali võetakse erineva muutuja suhtes. Kuigi me ei õigusta seda toimingut siin, on see laialdaselt rakendatav paljude funktsioonide jaoks. Pidage meeles, et t{displaystyle t} tuleb kogu hindamise ajal käsitleda muutujana, mitte konstantina.dGdt=ddt∫0∞sinâ¡¡xxe−txdx=∫0∞∂∂te−txxxd¡¡ ‘∫0∞e−txsinâ¡xdx{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} G}{mathrm {d} t}}&={frac {mathrm {d} } {mathrm {d} t}}int _{0}^{infty }{frac {sin x}{x}}e^{-tx}mathrm {d} x\&=int _{0}^{infty }{frac {partial }{partial t}}e^{-tx}{frac {sin x}{x}}mathrm {d} x\&= -int _{0}^{infty }e^{-tx}sin xmathrm {d} xend{joondatud}}}
4
Hinnake dGdt{displaystyle {frac {mathrm {d} G}{mathrm {d} t}}}. See on tegelikult sinâ¡x.{displaystyle sin x.} Laplace’i teisenduse hinnang. Kõige lihtsam viis selle integraali hindamiseks on kasutada osade kaupa integreerimist, mida käsitleme allpool. Vaadake näpunäiteid selle võimsama integreerimise viisi kohta. Pöörake tähelepanu märkidele.dGdt=e−txcosâ¡¡x|0∞+∫0∞te−txcosâ¡¡xdx=e−txcosâ¡¡x|0∞«t¡0žxe| ¡xdx]=e−txcosâ¡x|0∞+te−txsinâ¡x|0∞−t2dGdt{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} G}{mathrm {d} t}}&=e^{-tx}cos x{Big |}_{0}^{infty }+int _{0}^{infty }te^{-tx}cos x mathrm {d} x\&=e^{-tx}cos x{Big |}_{0}^{infty }+left[te^{-tx}sin x{Big |} _{0}^{infty }+int _{0}^{infty }t^{2}e^{-tx}sin xmathrm {d} xright]\&=e^ {-tx}cos x{Big |}_{0}^{infty }+te^{-tx}sin x{Big |}_{0}^{infty }-t^{2 }{frac {mathrm {d} G}{mathrm {d} t}}end{aligned}}}dGdt(1+t2)=(0−1)+(0−0){displaystyle { frac {mathrm {d} G}{mathrm {d} t}}(1+t^{2})=(0-1)+(0-0)}dGdt=−11+t2{ kuvastiil {frac {mathrm {d} G}{mathrm {d} t}}=-{frac {1}{1+t^{2}}}}
5
Integreerige mõlemad pooled t{displaystyle t} suhtes. See taastab G(t){displaystyle G(t)} erineva muutuja all. Kuna integrand on tuntud funktsiooni diferentsiaal, on see hindamine triviaalne.−∫11+t2dt=−tan−1â¡t+C{displaystyle -int {frac {1}{1 +t^{2}}}mathrm {d} t=-tan ^{-1}t+C}Siin saame aru, et G(t)=0{displaystyle G(t)=0} kui tâ †’∞{displaystyle tto infty } nii selle integraali kui ka sammus 2 määratletud integraali jaoks. Kuid limt→∞tan−1â¡t=Ï€2,{displaystyle lim _{tto infty }tan ^{-1}t={frac {pi }{2}},} seega ka C=Ï€2{displaystyle C={frac {pi }{2}}} .Seetõttu G(t)=−tan−1â¡t+Ï€2.{displaystyle G(t)=-tan ^{-1}t+{frac {pi }{2}}. }
6
Hinda sinc integraali. Nüüd, kui meil on G(t),{displaystyle G(t),} kus t≥0,{displaystyle tgeq 0,} saame asendada t{displaystyle t} 0-ga ja leida, et G(0 )=Ï€2.{displaystyle G(0)={frac {pi }{2}}.}G(0)=∫0∞sinâ¡xxdx=Ï€2{displaystyle G(0)= int _{0}^{infty }{frac {sin x}{x}}mathrm {d} x={frac {pi }{2}}}Lõpuks tuletame meelde, et integreerimiseks kõik reaalarvud korrutame lihtsalt 2-ga, kuna sincâ¡x{displaystyle operaatorinimi {sinc} x} on paarisfunktsioon.∫−∞∞sinâ¡¡xxdx=Ï€{displaystyle int _{- infty }^{infty }{frac {sin x}{x}}mathrm {d} x=pi }See vastus tasub meelde jätta, kuna see võib ilmuda mitmes kontekstis.
7
Mõelge allolevale integraalile. Tuletame meelde, et sinâ¡x{displaystyle sin x} on lihtsalt eksponentsiaalfunktsiooni eix.{displaystyle e^{ix} kujuteldav osa.} See integraal on pidev, välja arvatud singulaarsus x=0.{displaystyle x=0.}∫−∞∞eixxdx{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {e^{ix}}{x}}mathrm {d} x}
8
Vaatleme kontuuri integraali koos taandatud kontuuriga. Lihtsamad jääkideooria abil hinnatud ebaõiged integraalid kasutavad poolringikujulist kaarekujulist kaaret, mis jälgib tegelikku joont mõnest piirist −a{displaystyle -a} kuni a{displaystyle a} ja kaared vastupäeva tagasi punktini −a,{displaystyle -a ,} while a→∞.{displaystyle ato infty .} Kuid me ei saa seda kasutada lähtekoha pooluse tõttu. Lahenduseks on kasutada pooluse ümber taandunud kontuuri.∫Γeizzdz{displaystyle int _{Gamma }{frac {e^{iz}}{z}}mathrm {d} z} Kontuur Γ{displaystyle Gamma } on jagatud neljaks osaks. Alustame tähest −a{displaystyle -a} ja liigume tegeliku jooneni mõne väikese arvuni −ϵ.{displaystyle -epsilon .} Seejärel poolringikujuline kaar γϵ{displaystyle gamma _{epsilon }} raadius ϵ{displaystyle epsilon } läheb päripäeva kuni ϵ{displaystyle epsilon } reaalteljel. Seejärel läheb see kontuur a,{displaystyle a,}, millest poolringikujuline kaar γa{displaystyle gamma _{a}}raadiusega a{displaystyle a} läheb vastupäeva ja tagasi −a.{displaystyle – a.} Oluline on siinkohal märkida, et sellel integraalil ei ole kontuuri sees singulaarsusi ja see on seega 0. Seetõttu võime kirjutada järgmise.∫−a−ϵeixxdx+∫ϵaeixxdx=−∫ γϵeizzdz−∫γaeizzdz{displaystyle int _{-a}^{-epsilon }{frac {e^{ix}}{x}}mathrm {d} x+int _{epsilon }^{ a}{frac {e^{ix}}{x}}mathrm {d} x=-int _{gamma _{epsilon }}{frac {e^{iz}}{z}} mathrm {d} z-int _{gamma _{a}}{frac {e^{iz}}{z}}mathrm {d} z}
9
Integraali γa{displaystyle gamma _{a}} hindamiseks kasutage Jordani lemmat. Tavaliselt peab selle integraali kadumiseks nimetaja aste olema lugeja astmest vähemalt kahe võrra suurem. Jordani lemma viitab sellele, et kui selline ratsionaalne funktsioon korrutada eiz{displaystyle e^{iz}} liikmega, siis peab nimetaja aste olema vähemalt ühe võrra suurem. Seetõttu see integraal kaob.∫γaeizzdz=0{displaystyle int _{gamma _{a}}{frac {e^{iz}}{z}}mathrm {d} z=0}
10
Hinnake integraali γϵ{displaystyle gamma _{epsilon }}. Kui olete tuttav 1z{displaystyle {frac {1}{z}}} kontuuriintegraalidega, mis hõlmavad ringkaare kontuure, hõlmab näide tõsiasja, et integraal sõltub nurgast, mida kaar läbib. Meie näites integreeritakse kaar nurgast Ï€{displaystyle pi } kuni 0{displaystyle 0} päripäeva. Selline integraal on seega võrdne −πi.{displaystyle -pi i.}Saame selle tulemuse üldistada mis tahes nurga all olevatele kaaretele, kuid mis veelgi olulisem, jääkide jaoks. Vaadake selles etapis kasutatava teoreemi näpunäiteid. Lähtekoha jääk on kergesti leitav, et see on Resâ¡¡(0)=1.{displaystyle operatorname {Res} (0)=1.}limϵ→0+∫γϵeizzdz=−πiResâ¡ (0)=−πi{displaystyle lim _{epsilon to 0^{+}}int _{gamma _{epsilon }}{frac {e^{iz}}{z }}mathrm {d} z=-pi ioperaatorinimi {Res} (0)=-pi i}
11
Jõuame meie integraali vastuseni. Kuna ϵ→0{displaystyle epsilon to 0} ja a→∞,{displaystyle ato infty ,} eitavad meie tulemuse (vt 2. sammu), et jõuda meie vastuseni.∫−∞∞eixxdx= ∫−a−ϵeixxdx+∫ϵaeixxdx=Ï€i{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {e^{ix}}{x}}mathrm {d} x=int _{-a}^{-epsilon }{frac {e^{ix}}{x}}mathrm {d} x+int _{epsilon }^{a}{frac { e^{ix}}{x}}mathrm {d} x=pi i}
12
Vaatleme ülaltoodud integraali imaginaarset osa. Ülaltoodud tulemus annab meile kaks tõelist tulemust. Esiteks järgneb kohe funktsiooni sinc integraal.Imâ¡âˆ«âˆ’∞∞eixxdx=∫−∞∞sinâ¡xxdx=Ï€{displaystyle operaatorinimi {Im} int _{}^infty _{}- {infty }{frac {e^{ix}}{x}}mathrm {d} x=int _{-infty }^{infty }{frac {sin x}{x}} mathrm {d} x=pi }Teiseks järgneb ka seotud funktsiooni cosâ¡xx{displaystyle {frac {cos x}{x}}} põhiväärtusega integraal, kui võtta reaalosa meie tulemusest, mis on 0.