Integraali järgi eristamine, mida tuntakse ka “Feynmani kuulsa trikina”, on integreerimistehnika, mis võib olla väga kasulik integraalide tegemisel, kui elementaarsed tehnikad ebaõnnestuvad või mida saab teha ainult jääkide teooria abil. See on oluline tehnika, mida iga füüsik ja insener peaks teadma, ja avab terve hulga integraale, mis muidu oleksid kättesaamatud.
1
Mõelge allolevale integraalile. See integraal on atraktiivne mitmel põhjusel. Esiteks on see seotud tangensi pöördfunktsiooniga, mis võimaldab hõlpsat hindamist (veenduge, et suudate seda integraali standardsel viisil hinnata). Teiseks tutvustame a{displaystyle a} ja b{displaystyle b} parameetritena, mis ei sõltu x-st,{displaystyle x,}, nii et integraal sõltub neist kahest parameetrist.∫−∞∞1ax2+bdx=Ï€ab {displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {1}{ax^{2}+b}}mathrm {d} x={frac {pi }{sqrt { ab}}}}
2
Eristage mõlemat poolt {displaystyle a} järgi. Siin on trikk selles, et me saame tõmmata diferentseerimisoperaatori integraali alla. Kuna me eristame ka oma tulemust, muudame integratsiooniprobleemi sisuliselt diferentseerimisprobleemiks. Pange tähele, et kui integraal eitatakse, eitab tulemus ka negatiivse eksponendi tõttu, seega jäävad vastused positiivseks.dda∫−∞∞1ax2+bdx=∫−∞∞∂∂a1ax2+bdx {{cfrax2+bdx {mathrm {d} }{mathrm {d} a}}int _{-infty }^{infty }{frac {1}{ax^{2}+b}}mathrm {d} x=int _{-infty }^{infty }{frac {partial }{partial a}}{frac {1}{ax^{2}+b}}mathrm {d} x }∫−∞∞x2(ax2+b)2dx=Ï€2a3b{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {x^{2}}{(ax^{2}+ b)^{2}}}mathrm {d} x={frac {pi }{2{sqrt {a^{3}b}}}}}Saame ikka ja jälle eristada, kuni saame integraali me tahame. Nüüd saame hõlpsasti hinnata integraale, nagu allpool loetletud, ilma jääke kasutamata.∫−∞∞x2(x2+5)2dx=Ï€25{displaystyle int _{-infty }^{infty } {frac {x^{2}}{(x^{2}+5)^{2}}}mathrm {d} x={frac {pi }{2{sqrt {5}}} }}∫−∞∞x4(x2+3)3dx=3Ï€83{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {x^{4}}{(x^{2} +3)^{3}}}mathrm {d} x={frac {3pi }{8{sqrt {3}}}}}
3
Eristage b{displaystyle b} järgi. Sama saame teha siin.∫−∞∞1(ax2+b)2dx=Ï€2ab3{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {1}{(ax^{ 2}+b)^{2}}}mathrm {d} x={frac {pi }{2{sqrt {ab^{3}}}}}}See tulemus võimaldab meil saada allpool loetletud integraale . Eelkõige esimene on standardnäide integraalist, mida saab hinnata jääkide järgi, kuid siin tuleb meil ainult juba saadud tulemust eristada. Teine, kui seda tehakse jääkide abil, nõuab palju algebrat, kuid integraali all diferentseerudes tuleb meil eristada vaid kolm korda.∫−∞∞1(x2+1)2dx=Ï€2{displaystyle int _ {-infty }^{infty }{frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}mathrm {d} x={frac {pi }{2}} }∫−∞∞1(x2+4)4dx=5Ï€2048{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {1}{(x^{2}+4)^{ 4}}}mathrm {d} x={frac {5pi }{2048}}}Üldiselt võime a{displaystyle a} või b{displaystyle b} järgi eristada suvalise arvu kordi , mis võimaldab meil hinnata ka allolevaid integraale (eristada w.r.t. a{displaystyle a} kaks korda, seejärel eristada w.r.t. b{displaystyle b} kaks korda). Pange tähele, et diferentseerides a,{displaystyle a,} suhtes suurendame lugeja ja nimetaja astet 2 võrra, samas kui diferentseerimine b{displaystyle b} suhtes suurendab nimetaja astet ainult 2 võrra. See muster võimaldab kiiremat hindamist.∫0∞x4(x2+9)5dx=Ï€2834{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {x^{4}}{(x^ {2}+9)^{5}}}mathrm {d} x={frac {pi }{2^{8}3^{4}}}}
4
Mõelge allolevale integraalile. Pöördtangensi diferentsiaal oli koht, kus saime määrata palju integraale. Teine hea koht alustamiseks on üldine eksponentsiaalfunktsioon.∫01xadx=11+a{displaystyle int _{0}^{1}x^{a}mathrm {d} x={frac {1}{ 1+a}}}
5
Eristage {displaystyle a} järgi. Üldise eksponentsiaalfunktsiooni tuletis on xalnâ¡x.{displaystyle x^{a}ln x.} Logaritmi olemasolu võimaldab meil määrata hulga integraale, mis hõlmavad logaritmilist funktsiooni. See on väga tulus tulemus, sest isegi kõige lihtsam integraal, logifunktsiooni integraal, nõuab osade kaupa integreerimist.∫01xalnâ¡xdx=−1(1+a)2{displaystyle int _{0}^{1}x^{a}ln xmathrm {d} x=-{frac {1}{(1+a)^{2}}}}Üldiselt iga tuletise puhul integraali sees oleva logaritmi võimsust suurendatakse ühe võrra. See protsess võimaldab meil selliseid integraale väga lihtsalt määrata, sest parema poole tuletisi on väga lihtne võtta (kui piirid on 0 kuni 1 – kui ülemine piir on erinev, on tuletistega natuke rohkem tööd) .∫01x4lnâ¡xdx=−125{displaystyle int _{0}^{1}x^{4}ln xmathrm {d} x=-{frac {1}{25}} }∫01x5ln2â¡xdx=1108{displaystyle int _{0}^{1}x^{5}ln ^{2}xmathrm {d} x={frac {1}{108} }}∫01ln4â¡xdx=24{displaystyle int _{0}^{1}ln ^{4}xmathrm {d} x=24}∫06x3lnâ¡xdx=81(4lnâ ¡6−1){displaystyle int _{0}^{6}x^{3}ln xmathrm {d} x=81(4ln 6-1)}
6
Üldistage, laiendades seeriaks. Saame hinnata integraale, mille integrand on kujul xnlnkâ¡x{displaystyle x^{n}ln ^{k}x}, tuginedes Taylori jadatele ja astmeridadele. Alustuseks arvestame a=n+ϵ{ displaystyle a=n+epsilon } mõne väikese arvu jaoks ϵ,{displaystyle epsilon ,} kirjuta ümber xϵ=eϵlnâ¡¡x,{displaystyle x^{epsilon }=e^{epsilon ln x},} ja Taylor meie avaldis umbes ϵ=0.{displaystyle epsilon =0.}∫01xn+ϵdx=∫01xneϵlnâ¡¡xdx=−k=0∞ϵkk!∫01xnlnkâ¡¡int ˆ«01xnlnk⡵k 0}^{1}x^{n+epsilon }mathrm {d} x=int _{0}^{1}x^{n}e^{epsilon ln x}mathrm {d} x =sum _{k=0}^{infty }{frac {epsilon ^{k}}{k!}}int _{0}^{1}x^{n}ln ^{k }xmathrm {d} x}∫01xn+ϵdx=11+n+ϵ=11+n11+ϵn+1=1n+1−k=0∞(−1)k(ϵn+1)k=∠‘k=0∞(−1)kϵk(n+1)k+1{displaystyle {begin{aligned}int _{0}^{1}x^{n+epsilon }mathrm {d} x& ={frac {1}{1+n+epsilon }}={frac {1}{1+n}}{frac {1}{1+{frac {epsilon }{n+1}} }}\&={frac {1}{n+1}}sum _{k=0}^{infty }(-1)^{k}left({frac {epsilon }{ n+1}}parem)^{k}=summa _{ k=0}^{infty }{frac {(-1)^{k}epsilon ^{k}}{(n+1)^{k+1}}}end{aligned}}}Võrdsus koefitsiente, saame üldise vastuse.1k!∫01xnlnkâ¡xdx=(−1)k(n+1)k+1{displaystyle {frac {1}{k!}}int _ {0}^{1}x^{n}ln ^{k}xmathrm {d} x={frac {(-1)^{k}}{(n+1)^{k+1 }}}}∫01xnlnkâ¡xdx=(−1)kk!(n+1)k+1{displaystyle int _{0}^{1}x^{n}ln ^{k} xmathrm {d} x={frac {(-1)^{k}k!}{(n+1)^{k+1}}}}Selle tulemuse määratlemiseks n>−1 {displaystyle n>-1} ja k{displaystyle k} peavad olema täisarv, kuna see on faktoriaalfunktsiooni argument.
7
Hinnake integraali allpool. See on väga tavaline näide, kus integraali all eristamine tühistab osa integrandist.∫01×4−1lnâ¡xdx{displaystyle int _{0}^{1}{frac {x^{4}-1 }{ln x}}mathrm {d} x}
8
Mõelge seotud integraalile, asendades lugeja numbriga xa−1{displaystyle x^{a}-1}. Seejärel saame eristada integraali all a suhtes.{displaystyle a.}I(a)=∫01xa−1lnâ¡xdx{displaystyle I(a)=int _{0}^{1}{ frac {x^{a}-1}{ln x}}mathrm {d} x}dIda=dda∫01xa−1lnâ¡¡xdx=∫01xadx=11+a{displaystyle {frac { mathrm {d} I}{mathrm {d} a}}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} a}}int _{0}^{1}{frac {x ^{a}-1}{ln x}}mathrm {d} x=int _{0}^{1}x^{a}mathrm {d} x={frac {1}{1 +a}}}
9
Integreerige mõlemad pooled a{displaystyle a} suhtes. See on määramata integraal, seega on integratsiooni konstant. Kuid konstant kaob, kuna I(0)=0.{displaystyle I(0)=0.}I(a)=∫11+ada=lnâ¡¡(1+a){displaystyle I(a) =int {frac {1}{1+a}}mathrm {d} a=ln(1+a)}
10
Asendage a{displaystyle a} sobiv väärtus. Meie näites a=4.{displaystyle a=4.} See tulemus annab meile teavet kogu integraalide klassi kohta, tuues esile selle tehnika võimsuse ja kalduvuse tulemusi üldistada.∫01×4−1lnâ¡xdx= lnâ¡5{displaystyle int _{0}^{1}{frac {x^{4}-1}{ln x}}mathrm {d} x=ln 5}
11
Hinnake integraali allpool. Integraali all võime diferentseerimist kasutada ka keerulisemate avaldiste puhul – avaldiste puhul, kus see on antiderivaadi leidmise seisukohast tegelikult lootusetu (see on kindlasti olemas, aga edu selle leidmisel).∫01ln4â¡xx(ln2â¡x+ 1)3dx{displaystyle int _{0}^{1}{frac {ln ^{4}x}{x(ln ^{2}x+1)^{3}}}mathrm { d} x}
12
Tehke u-sub u=lnâ¡x{displaystyle u=ln x}. Integraali hoolikalt uurides näeme, et nimetajas on termin f(x)2+1{displaystyle f(x)^{2}+1}. Lisaks on integraalis olemas nii funktsioon kui ka selle tuletis, nii et pärast u-sub tegemist kaob lisa x{displaystyle x} liige. See muudab integraali integraaliks, mis on seotud pöördtangensi integraaliga, mida just arutasime! Saadud integrand on paaris, nii et negatiivsete reaalarvude hindamine annab sama tulemuse kui positiivsete reaalarvude hindamine.∫01ln4â¡xx(ln2â¡x+1)3dx=∫−∞0u4( u2+1)3du=∫0∞u4(u2+1)3du{displaystyle int _{0}^{1}{frac {ln ^{4}x}{x(ln ^{2}x +1)^{3}}}mathrm {d} x=int _{-infty }^{0}{frac {u^{4}}{(u^{2}+1)^{ 3}}}mathrm {d} u=int _{0}^{infty }{frac {u^{4}}{(u^{2}+1)^{3}}}mathrm {d} u}
13
Erista integraali all. Kasutades meie tulemust osast 1, eristame w.r.t. a{displaystyle a} kaks korda, et saada meie tulemus, määrates a=1{displaystyle a=1} ja b=1.{displaystyle b=1.}∫0∞1ax2+bdx=Ï€2ab{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {1}{ax^{2}+b}}mathrm {d} x={frac {pi }{2{sqrt {ab}}}} }∫0∞u4(u2+1)3du=123Ï€8=3Ï€16{displaystyle int _{0}^{infty }{frac {u^{4}}{(u^{2}+ 1)^{3}}}mathrm {d} u={frac {1}{2}}{frac {3pi }{8}}={frac {3pi }{16}} }
14
Vaadake artiklit funktsiooni sinc integraali hindamise kohta. (normaliseerimata) sinc funktsioon sinâ¡xx{displaystyle {frac {sin x}{x}}} on klassikaline funktsioon, millel puudub antiderivatiiv, mida saab kirjutada suletud kujul, kuid millel on täpne integraal, kui integreerimine üle kõigi reaalsuste. Selle funktsiooni hindamiseks on palju erinevaid meetodeid, kuid integraali all eristamine on üks meetod.∫−∞∞sinâ¡¡xxdx=Ï€{displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac { sin x}{x}}mathrm {d} x=pi }