Kui leiate mõne teise funktsiooni sisse pesastatud funktsiooni, ei saa te tavapäraselt integreerida. Sel juhul peate kasutama u-asendust.
1
Määrake, mida te kasutate kui u. Sinu leidmine võib olla u-asendamise kõige keerulisem osa, kuid harjutades muutub see loomulikumaks. Üldiselt hõlmab hea u-sub tuletist u-st, mis tühistab osa integrandist. Lihtsamad integraalid on need, kus see sisaldab funktsiooni ax{displaystyle ax} (x{displaystyle x} mis tahes kordne), mis on pesastatud mõne teise elementaarfunktsiooni sisse – sellistel juhtudel on pesastatud funktsioon u. Võtke arvesse integraali ∫sinâ ¡(2x)dx.{displaystyle int sin(2x)mathrm {d} x.}Siin on funktsioon 2x{displaystyle 2x} pesastatud teise elementaarfunktsiooni, siinusfunktsiooni sisse. Kuna 2x{displaystyle 2x} tuletis on lihtsalt konstant, ei pea me muretsema mittevajalike muutujate sisestamise pärast. Seetõttu tehke asendus u=2x.{displaystyle u=2x.}
2
Leia du. Võtke u tuletis x-i suhtes ja lahendage du.dudx=2du=2dx{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} u}{mathrm {d} x}}& =2\mathrm {d} u&=2mathrm {d} xend{aligned}}}Oma tehnikat täiustades liigute lõpuks otse diferentsiaali juurde, selle asemel et seda lahendada.
3
Kirjutage integraal ümber kujul u.∫sinâ¡¡(2x)dx=12∫sinâ¡udu{displaystyle int sin(2x)mathrm {d} x={frac {1}{2} }int sin umathrm {d} u}Siin kirjutasime integraali du abil, lahendades dx ja asendades selle. See on põhjus, miks on olemas täiendav 1/2 terminit (mille saame välja arvutada). Kui pärast millegi võimaliku asendamist u ja du-ga jääb teile muutuja, mis ei ole u, lahendage see muutuja mõnikord u-ga. ja selle asendamine toimib. Seda nimetatakse tagasiasenduseks ja alltoodud täiendavas näites kasutatakse sellist asendust.
4
Integrate.12∫sinâ¡u=−12cosâ¡u+C{displaystyle {frac {1}{2}}int sin u=-{frac {1}{2}}cos u +C}
5
Kirjutage oma vastus oma algse muutuja järgi. Asendage u sellega, mille määrasite samaväärseks varasemaga.−12cosâ¡u+C=−12cosâ¡¡(2x)+C{displaystyle -{frac {1}{2}}cos u+C= -{frac {1}{2}}cos(2x)+C}Nagu näeme, on u-asendus lihtsalt diferentsiaalarvutuse ahelreegli analoog.
6
Määrake, mida te kasutate kui u. See näide demonstreerib kindlate integraalide ja trigonomeetriliste funktsioonide u-asendust. Võtke arvesse integraali ∫0Ï€sin3â¡Î¸dθ.{displaystyle int _{0}^{pi }sin ^{3}theta mathrm {d} theta .}Pange tähele, et sellel funktsioonil ei ole pesastatud funktsiooni teises funktsioonis, mida saaksime kasutada. Kui käsitleme seda siinusfunktsioonina kuubikuga, ei vii tulemuseks olev u-sub meid kuhugi. Kuid kasutades trigonomeetrilist identiteeti sin2â¡Î¸=1−cos2â¡Î¸,{displaystyle sin ^{2}theta =1-cos ^{2}theta ,} saame integrandi ümber kirjutada järgmiselt (1−cos2â¡Î¸)sinâ¡Î¸.{displaystyle (1-cos ^{2}theta )sin theta .}Tuletame meelde, et ddθcosâ¡Î¸=−sin⠡θ.{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} theta }}cos theta =-sin theta .} Pidage meeles, et üldiselt tahame, et teie diferentsiaal tühistab osa integrandist. Sel juhul on sinâ¡Î¸.{displaystyle sin theta .}Seetõttu tehke asendus u=cosâ¡Î¸.{displaystyle u=cos theta .}
7
Leia du. Võtke u tuletis ja lahendage du. Ülaltpoolt du=−sin⡡θdθ.{displaystyle mathrm {d} u=-sin theta mathrm {d} theta .}
8
Kirjutage oma integraal ümber, et saaksite seda väljendada u-ga. Muutke kindlasti ka oma piire, kuna muutsite muutujaid. Selleks asendage lihtsalt piirid oma u-asendusvõrrandiga.∫0Ï€(1−cos2â¡Î¸)sinâ¡Î¸dθ=−∫1−1(1−u2)du{ displaystyle int _{0}^{pi }(1-cos ^{2}theta )sin theta mathrm {d} theta =-int _{1}^{-1}( 1-u^{2})mathrm {d} u}
9
Täiendav sinâ¡Î¸{displaystyle sin theta } tühistab kenasti, kuid pane tähele negatiivset märki. Nüüd mõista, et piiride vahetamine muudab integraali eitavaks, nii et lõpuks saame positiivse integraali.−∫1−1(1−u2)du=∫−11(1−u2)du{ kuvastiil -int _{1}^{-1}(1-u^{2})mathrm {d} u=int _{-1}^{1}(1-u^{2}) matemaatika {d} u}
10
Integreeri. Integrand on paarisfunktsioon ja piirid on sümmeetrilised. Seetõttu saame arvutuste lihtsustamiseks arvestada 2-ga ja määrata alumiseks piiriks 0.∫−11(1−u2)du=2∫01(1−u2)du=2(1−13)=43{ displaystyle {begin{align}int _{-1}^{1}(1-u^{2})mathrm {d} u&=2int _{0}^{1}(1-u ^{2})mathrm {d} u\&=2left(1-{frac {1}{3}}right)\&={frac {4}{3}}end {aligned}}}Me ei pidanud õige vastuse saamiseks seda lihtsustamist tegema, kuid keerulisemate integraalide puhul on see meetod kasulik aritmeetikavigade vältimiseks. Pange tähele, et me ei kirjutanud integraali ümber algse muutuja järgi. Kuna me muutsime oma piire, on integraalid samaväärsed. Lõppkokkuvõttes on eesmärk lahendada probleem võimalikult lihtsal ja tõhusamal viisil, nii et pole vaja täiendavale sammule rohkem aega kulutada.
11
Hinnake järgmist integraali. See on täiustatud näide, mis sisaldab u-asendust. 1. osas tuletage meelde, et ütlesime, et integraal pärast u-sub sooritamist ei pruugi algseid muutujaid tühistada, seega võib osutuda vajalikuks muutuja lahendamine u{displaystyle u} ja asendamise järgi. See on vajalik ka selles ülesandes.∫02×2+4x+2dx{displaystyle int _{0}^{2}{frac {x^{2}+4}{x+2}}mathrm { d} x}Näeme, et tuletis x2+4{displaystyle x^{2}+4} on 2x, {displaystyle 2x,} mitte x+2.{displaystyle x+2.} Kui proovime kohe u-sub, saame lõpuks üha keerulisema avaldise, sest x{displaystyle x} lahendamine u{displaystyle u}-ga lõpeb ruutjuurega.
12
Kirjutage lugeja ümber, täites ruudu. Pange tähele, et lugeja vajab ruudu lõpetamiseks lihtsalt 4x{displaystyle 4x}. Kui me lihtsalt liidame ja lahutame 4x, {displaystyle 4x,} st lisame 0, saame pärast lihtsustamist probleemi lahendada paremini hallatavaks.∫02×2+4x+2dx=∫02×2+4+4x−4xx +2dx=∫02((x+2)2x+2−4xx+2)dx=∫02(x+2)dx−4∫02xx+2dx=6−4∫02xx+2dx{kuvastiil { algus{joondatud}int _{0}^{2}{frac {x^{2}+4}{x+2}}mathrm {d} x&=int _{0}^{2}{ frac {x^{2}+4+4x-4x}{x+2}}mathrm {d} x\&=int _{0}^{2}left({frac {(x +2)^{2}}{x+2}}-{frac {4x}{x+2}}right)mathrm {d} x\&=int _{0}^{2} (x+2)mathrm {d} x-4int _{0}^{2}{frac {x}{x+2}}mathrm {d} x\&=6-4int _{0}^{2}{frac {x}{x+2}}mathrm {d} xend{aligned}}}Väärib märkimist, et see 0 lisamise tehnika on väga kasulik, eriti väljaku valmimise kontekstis. Kuna 0 on aditiivne identiteet, ei ole me integraali tegelikult muutnud.
13
Tehke u-sub u=x+2{displaystyle u=x+2}. Ülaltoodud viimasel real olev integraal on võib-olla kõige lihtsam avaldise tüüp, kus on vaja sellist “tagasi asendust” – see tähendab, et x{displaystyle x} lahendatakse u{displaystyle u}-ga ja ühendatakse see hästi (x=u−2),{displaystyle (x=u-2),} kuna u-sub ei tühistanud kõiki x{displaystyle x} termineid. Ärge unustage oma piire muuta.6−4∫02xx+2dx=6−4∫24u−2udu=6−4∫24(1−2u)du{displaystyle {begin{aligned}6-4int _{0 }^{2}{frac {x}{x+2}}mathrm {d} x&=6-4int _{2}^{4}{frac {u-2}{u}} mathrm {d} u\&=6-4int _{2}^{4}left(1-{frac {2}{u}}right)mathrm {d} uend{joondatud }}}
14
Hinda.6−4∫24(1−2u)du=6−4[u−2lnâ¡u]24=6−4[4−2lnâ¡¡4−2+2lnâ¡2]=6+2lnâ¡¡2] 8lnâ¡¡4+8−8lnâ¡¡2=8lnâ¡2−2{displaystyle {begin{aligned}6-4int _{2}^{4}left(1-{frac {2 }{u}}right)mathrm {d} u&=6-4[u-2ln u]_{2}^{4}\&=6-4[4-2ln 4-2 +2ln 2]\&=6-16+8ln 4+8-8ln 2\&=8ln 2-2end{joondatud}}}