Erinevatel põhjustel peate võib-olla suutma määratleda valitud ruutfunktsiooni maksimaalse või minimaalse väärtuse. Maksimaalse või miinimumi leiate, kui teie algne funktsioon on kirjutatud üldkujul f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} või standardsel kujul , f(x)=a(x−h)2+k{displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}. Lõpuks võite soovida kasutada ka mõnda põhiarvutust, et määratleda mis tahes ruutfunktsiooni maksimum või miinimum.
1
Seadistage funktsioon üldisel kujul. Ruutfunktsioon on funktsioon, millel on x2{displaystyle x^{2}} liige. See võib, kuid ei pruugi sisaldada x{displaystyle x} terminit ilma eksponendita. 2-st suuremaid eksponente ei ole. Üldvorm on f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Vajadusel kombineerige sarnaseid termineid ja korraldage ümber, et määrata funktsioon sellel üldkujul. Oletame näiteks, et alustate f(x)=3x+2x−x2+3×2+4{displaystyle f(x)=3x+2x- x^{2}+3x^{2}+4}. Kombineerige terminid x2{displaystyle x^{2}} ja x{displaystyle x}, et saada järgmine üldkuju: f(x)=2×2+5x+4{displaystyle f(x)=2x^ {2}+5x+4}
2
Määrake graafiku suund. Ruutfunktsiooni tulemuseks on parabooli graafik. Parabool avaneb kas üles või alla. Kui {displaystyle a}, liikme x2{displaystyle x^{2}} koefitsient, on positiivne, avaneb parabool ülespoole. Kui {displaystyle a} on negatiivne, avaneb parabool allapoole. Vaadake järgmisi näiteid: f(x)=2×2+4x−6{displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6} puhul a=2{displaystyle a=2}, nii et parabool avaneb ülespoole. Kui f(x)=−3×2+2x+8{displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8}, a=−3{displaystyle a=-3} parabool avaneb allapoole.F(x)=x2+6{displaystyle f(x)=x^{2}+6} puhul a=1{displaystyle a=1}, nii et parabool avaneb ülespoole.Kui parabool avaneb ülespoole, leiate selle minimaalse väärtuse. Kui parabool avaneb allapoole, leiate selle maksimaalse väärtuse.
3
Arvutage -b/2a. Väärtus −b2a{displaystyle -{frac {b}{2a}}} ütleb teile parabooli tipu x{displaystyle x} väärtuse. Kui ruutfunktsioon on kirjutatud üldkujul ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c}, kasutage koefitsiente x{displaystyle x} ja x2{displaystyle x^{2 }} terminid järgmiselt: funktsiooni f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} puhul a=1{displaystyle a=1} ja b =10{displaystyle b=10}. Seetõttu leidke tipu x-väärtus järgmiselt:x=−b2a{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}x=−10(2)(1){displaystyle x= -{frac {10}{(2)(1)}}}x=−102{displaystyle x=-{frac {10}{2}}}x=−5{displaystyle x=- 5}Teise näitena vaadake funktsiooni f(x)=−3×2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}. Selles näites a=−3{displaystyle a=-3} ja b=6{displaystyle b=6}. Seetõttu leidke tipu x-väärtus järgmiselt:x=−b2a{displaystyle x=-{frac {b}{2a}}}x=−6(2)(−3){displaystyle x=-{frac {6}{(2)(-3)}}}x=−6−6{displaystyle x=-{frac {6}{-6}}}x=âˆ'( −1){displaystyle x=-(-1)}x=1{displaystyle x=1}
4
Leidke vastav f(x) väärtus. Sisestage äsja arvutatud x väärtus funktsiooni f(x) vastava väärtuse leidmiseks. See on funktsiooni miinimum või maksimum. Ülaltoodud esimese näite puhul f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} arvutasite x -tipu väärtus on x=−5{displaystyle x=-5}. Maksimaalse väärtuse leidmiseks sisestage funktsiooni x{displaystyle x} asemele −5{displaystyle -5}:f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x^{2 }+10x-1}f(−5)=(−5)2+10(−5)−1{displaystyle f(-5)=(-5)^{2}+10(- 5)-1}f(−5)=25−50−1{displaystyle f(-5)=25-50-1}f(−5)=−26{displaystyle f(-5) =-26}Teise ülaltoodud näite puhul, f(x)=−3×2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}, leidsite, et tipp asub punktis x =1{displaystyle x=1}. Maksimaalse väärtuse leidmiseks sisestage funktsiooni x{displaystyle x} asemele 1{displaystyle 1}:f(x)=−3×2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2 }+6x-4}f(1)=−3(1)2+6(1)−4{displaystyle f(1)=-3(1)^{2}+6(1)-4 }f(1)=−3+6−4{displaystyle f(1)=-3+6-4}f(1)=−1{displaystyle f(1)=-1}
5
Teatage oma tulemustest. Vaadake üle teile esitatud küsimus. Kui teilt küsitakse tipu koordinaate, peate esitama nii x{displaystyle x} kui ka y{displaystyle y} (või f(x){displaystyle f(x)}) väärtused. Kui teilt küsitakse ainult maksimumi või miinimumi, peate teatama ainult y{displaystyle y} (või f(x){displaystyle f(x)}) väärtuse. Vaadake tagasi koefitsiendi a{displaystyle a} väärtust, et olla kindel, kas teil on maksimum või miinimum. Esimese näite puhul f(x)=x2+10x−1{displaystyle f(x)=x ^{2}+10x-1}, a{displaystyle a} väärtus on positiivne, seega esitate minimaalse väärtuse. Tipp asub punktis (−5,−26){displaystyle (-5,-26)} ja minimaalne väärtus on −26{displaystyle -26}. Teise näite puhul f(x)= −3×2+6x−4{displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}, a{displaystyle a} väärtus on negatiivne, seega esitate maksimaalse väärtuse. Tipp asub punktis (1,−1){displaystyle (1,-1)} ja maksimaalne väärtus on −1{displaystyle -1}.
6
Kirjutage ruutfunktsioon standard- või tipukujul. Üldise ruutfunktsiooni standardvorm, mida võib nimetada ka tipuvormiks, näeb välja selline:f(x)=a(x−h)2+k{displaystyle f(x)=a(x-h)^{ 2}+k}Kui teie funktsioon on teile sellel kujul juba antud, peate lihtsalt ära tundma muutujad a{displaystyle a}, h{displaystyle h} ja k{displaystyle k}. Kui teie funktsioon algab üldkujul f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}, peate selle tipu kujul ümber kirjutamiseks ruudu täitma Ruudu lõpetamise kohta vaadake jaotist Ruudu lõpetamine.
7
Määrake graafiku suund. Nii nagu ruutfunktsiooni puhul, mis on kirjutatud selle üldkujul, saate määrata parabooli suuna koefitsiendi a{displaystyle a} järgi. Kui {displaystyle a} sellel standardkujul on positiivne, avaneb parabool ülespoole. Kui {displaystyle a} on negatiivne, avaneb parabool allapoole. Vaadake järgmisi näiteid: f(x)=2(x+1)2−4{displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} puhul a=2{displaystyle a =2}, mis on positiivne, seega avaneb parabool ülespoole. For f(x)=−3(x−2)2+2{displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2} +2}, a=−3{displaystyle a=-3}, mis on negatiivne, nii et parabool avaneb allapoole. Kui parabool avaneb ülespoole, leiate selle minimaalse väärtuse. Kui parabool avaneb allapoole, leiate selle maksimaalse väärtuse.
8
Määrake minimaalne või maksimaalne väärtus. Kui funktsioon on kirjutatud standardkujul, on minimaalse või maksimaalse väärtuse leidmine sama lihtne kui muutuja k{displaystyle k} väärtuse määramine. Kahe ülaltoodud näidisfunktsiooni puhul on need väärtused järgmised: For f(x)=2(x+1)2−4{displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4}, k =−4{displaystyle k=-4}. See on funktsiooni minimaalne väärtus, kuna see parabool avaneb ülespoole. For f(x)=−3(x−2)2+2{displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2} +2}, k=2{displaystyle k=2}. See on funktsiooni maksimaalne väärtus, kuna see parabool avaneb allapoole.
9
Otsige üles tipp. Kui teilt küsitakse minimaalse või maksimaalse väärtuse koordinaate, on punkt (h,k){displaystyle (h,k)}. Pange tähele, et võrrandi standardkujul on sulgudes olev termin (x−h){displaystyle (x-h)}, seega on vaja x{displaystyle x}-le järgneva arvu vastasmärki. .F(x)=2(x+1)2−4{displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} puhul on sulgudes olev termin (x+1), mille saab ümber kirjutada kui (x-(-1)). Seega h=−1{displaystyle h=-1}. Seetõttu on selle funktsiooni tipu koordinaadid (−1,−4){displaystyle (-1,-4)}. For f(x)=−3(x−2)2+2{ displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2}, sulgudes olev termin on (x-2). Seetõttu h=2{displaystyle h=2}. Tipu koordinaadid on (2, 2).
10
Alustage üldisest vormist. Kirjutage ruutfunktsioon üldkujul f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}. Vajadusel peate võib-olla kombineerima sarnaseid termineid ja ümber korraldama, et saada õige vorm.Alustage näidisfunktsiooniga f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1 }.
11
Esimese tuletise leidmiseks kasutage võimsusreeglit. Kasutades põhilist esimese aasta arvutust, leiate üldise ruutfunktsiooni esimese tuletise f′(x)=2ax+b{displaystyle f^{prime }(x)=2ax+b}. näidisfunktsioon f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1}, leidke tuletis järgmiselt:f′(x)=4x−4{displaystyle f ^{prime }(x)=4x-4}
12
Seadistage tuletis nulliga. Tuletage meelde, et funktsiooni tuletis ütleb teile funktsiooni kalde selles valitud punktis. Funktsiooni miinimum või maksimum ilmneb siis, kui kalle on null. Seetõttu määrake tuletis nulliga, et leida, kus esineb miinimum või maksimum. Jätkake ülaltoodud näidisülesandega: f′(x)=4x−4{displaystyle f^{prime }(x)=4x-4}0=4x−4{displaystyle 0=4x-4}
13
Lahenda x jaoks. Funktsiooni ümberkorraldamiseks ja x väärtuse lahendamiseks kasutage algebra põhireegleid, kui tuletis võrdub nulliga. See lahendus ütleb teile funktsiooni tipu x-koordinaadi, kus esineb maksimum või miinimum.0=4x−4{displaystyle 0=4x-4}4=4x{displaystyle 4=4x} 1=x{kuvastiil 1=x}
14
Sisestage x lahendatud väärtus algsesse funktsiooni. Funktsiooni minimaalne või maksimaalne väärtus on f(x){displaystyle f(x)} väärtus valitud asendis x{displaystyle x}. Sisestage oma x{displaystyle x} väärtus algsesse funktsiooni ja lahendage miinimum või maksimum. Funktsiooni f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}- 4x+1} at x=1{displaystyle x=1},f(1)=2(1)2−4(1)+1{displaystyle f(1)=2(1)^{2}- 4(1)+1}f(1)=2−4+1{displaystyle f(1)=2-4+1}f(1)=−1{displaystyle f(1)=-1}
15
Teatage oma lahendusest. Lahendus annab teile maksimum- või miinimumpunkti tipu. Selle näidisfunktsiooni f(x)=2×2−4x+1{displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} tipp asub punktis (1,−1){displaystyle (1 ,-1)}. Koefitsient a{displaystyle a} on positiivne, seega avaneb funktsioon ülespoole. Seetõttu on funktsiooni minimaalne väärtus tipu y-koordinaat, mis on −1{displaystyle -1}.