Elliptilised integraalid on erifunktsioonid, mis tekivad paljudes matemaatika ja füüsika valdkondades. Üldiselt ei saa neid funktsioone kirjutada elementaarfunktsioonide kaudu. Selles artiklis hindame esimest ja teist tüüpi täielikke elliptilisi integraale astmeridade alusel. Enne jätkamist on soovitatav mõista beetafunktsiooni ja sellega seotud funktsioone.
1
Seadistage hinnatav integraal. Esmalt hindame esimest tüüpi täielikku elliptilist integraali; teine tüüp ei erine palju ja kasutab samu tehnikaid. Hindame trigonomeetrilist vormi, kuid pange tähele, et Jacobi vorm on täiesti samaväärne viis selle kirjutamiseks.K(k)=∫0Ï€/2dÏ•1−k2sin2â¡Ï•{displaystyle K(k)=int _{0}^{pi /2}{frac {mathrm {d} phi }{sqrt {1-k^{2}sin ^{2}phi }}}}
2
Kirjutage integraal binoomrea kujul. Binoomjada on Taylori laiendus avaldise (1+x)α{displaystyle (1+x)^{alpha }} jaoks mis tahes reaalarvu α.{ kuvastiil alpha .}(1+x)α=−m=0∞(αm)xm{displaystyle (1+x)^{alpha }=sum _{m=0}^{infty }{alpha choose m}x^{m}}Seejärel saame kirjutada integrandi sellisena, tuvastades x{displaystyle x} ja α,{displaystyle alpha ,}, eemaldades kindlasti kõik terminid ei sõltu Ï•.{displaystyle phi .}K(k)=∫0Ï€/2dÏ•1−k2sin2â¡Ï•=∫0Ï€/2−m=0∞(−1/2m) (−1)mk2msin2mâ¡Ï•dÏ•=−m=0∞(−1/2m)(−1)mk2m∫0Ï€/2sin2mâ¡Ï•dÏ•{displaystyle {begin{ joondatud }K(k)&=int _{0}^{pi /2}{frac {mathrm {d} phi }{sqrt {1-k^{2}sin ^{2} phi }}}\&=int _{0}^{pi /2}sum _{m=0}^{infty }{-1/2 choose m}(-1)^{m }k^{2m}sin ^{2m}phi mathrm {d} phi \&=sum _{m=0}^{infty }{-1/2 vali m}(-1 )^{m}k^{2m}int _{0}^{pi /2}sin ^{2m}phi mathrm {d} phi end{aligned}}}Pange tähele, et me hindame see inte Graal tähtaegade kaupa.
3
Hinnake integraali beetafunktsiooni abil. Esmalt laiendage vajadusel binoomkoefitsiente gamma funktsiooni osas. Vastasel juhul jätke see faktoriaalide järgi. Pidage meeles, et m!=Γ(m+1).{displaystyle m!=Gamma (m+1).}(−1/2m)=Γ(1/2)m!Γ(1/ 2−m){displaystyle {-1/2 choose m}={frac {Gamma (1/2)}{m!,Gamma (1/2-m)}}}Teiseks tuletage meelde beetafunktsiooni määratlus trigonomeetriliste funktsioonide kaudu.Γ(α)Γ(β)2Γ(α+β)=∫0Ï€/2cos2α−1â¡Ï•sin2β−1â¡ Ï•dÏ•{displaystyle {frac {Gamma (alpha )Gamma (beta )}{2,Gamma (alpha +beta )}}=int _{0}^{pi /2}cos ^{2alpha -1}phi sin ^{2beta -1}phi mathrm {d} phi }Tuvastame α=1/2{displaystyle alpha =1 /2} ja β=m+1/2.{displaystyle beta =m+1/2.}K(k)=−m=0∞(−1)mΓ(1/2)m!Î “(1/2−m)Γ(1/2)Γ(1/2+m)2m!k2m{displaystyle K(k)=sum _{m=0}^{infty }{ frac {(-1)^{m}Gamma (1/2)}{m!,Gamma (1/2-m)}}{frac {Gamma (1/2)Gamma (1/ 2+m)}{2,m!}}k^{2m}}
4
Kasutage Euleri peegelduse identiteeti ja asjaolu, et Γ(1/2)=Ï€{displaystyle Gamma (1/2)={sqrt {pi }}}. Euleri peegelduse identiteet on toodud allpool.Γ(z )Γ(1−z)=Ï€sinâ¡(Ï€z){displaystyle Gamma (z)Gamma (1-z)={frac {pi }{sin(pi z) }}}Saame oma seeriat selle valemi abil lihtsustada, kui laseme z=1/2+m.{displaystyle z=1/2+m.}Γ(1/2+m)Γ(1/2− m)=Ï€sinâ¡(Ï€(1/2+m)){displaystyle Gamma (1/2+m)Gamma (1/2-m)={frac {pi }{ sin(pi (1/2+m))}}}Lihtsustame veelgi, tehes tähelepaneku, et (−1)msinâ¡(Ï€(1/2+m))=1{displaystyle (-1 )^{m}sin(pi (1/2+m))=1} kõigi m.{displaystyle m.}K(k)=Ï€2−m=0∞Γ2(1/2+) m)Ï€(m!)2k2m{displaystyle K(k)={frac {pi }{2}}sum _{m=0}^{infty }{frac {Gamma ^{2 }(1/2+m)}{pi (m!)^{2}}}k^{2m}}
5
Kasutage topeltfaktoriaalset identiteeti. Topeltfaktoriaalset identiteeti saab seostada Gamma funktsiooniga järgmisel viisil. Vaadake näpunäiteid selle identiteedi tuletamiseks.(2m−1)!!=2mΔ(1/2+m)Ï€{displaystyle (2m-1)!!={frac {2^{m} Gamma (1/2+m)}{sqrt {pi }}}}Siis saame seda seeriat niimoodi lihtsustada.K(k)=Ï€2−m=0∞[(2m−1)!!2mm! ]2k2m{displaystyle K(k)={frac {pi }{2}}sum _{m=0}^{infty }left[{frac {(2m-1)!!}{ 2^{m}m!}}right]^{2}k^{2m}}Samuti saab seda seeriat kirjutada ainult topeltfaktoriaalidega, kui kasutatakse identiteeti (2m)!!=2mm!,{displaystyle (2m)!!=2^{m}m!,} mida mõnikord kohtab ka kirjanduses.K(k)=Ï€2−m=0∞[(2m−1)!!(2m)!! ]2k2m{displaystyle K(k)={frac {pi }{2}}sum _{m=0}^{infty }left[{frac {(2m-1)!!}{ (2m)!!}}parem]^{2}k^{2m}}
6
Laiendage seeriat.K(k)=Ï€2[1+(12)2k2+(1â‹…32â‹…4)2k4+(1â‹…3â‹…52â‹…4â‹…6)2k6+⋯] {displaystyle K(k)={frac {pi }{2}}left[1+left({frac {1}{2}}right)^{2}k^{2}+ left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}right)^{2}k^{4}+left({frac {1cdot 3cdot 5}{2 cdot 4cdot 6}}right)^{2}k^{6}+cdots right]}Seerial on mõned omadused, mis kohe silma paistavad. Esiteks näeme, et väikese k,{displaystyle k,} puhul on kõrgemat järku liikmed maha surutud, peamiselt faktoriaalide tõttu. See on väikese nurga lähendamise õigustus pendli analüüsimisel. Teiseks on selle konvergentsipiirkond |k|<1.{displaystyle |k|<1.} Kui k=1, {displaystyle k=1, } integraal lahkneb, kuna faktoriaalid tühistavad üksteist suures m{displaystyle m} piiris, kuigi see lahknemine on väga aeglane - K(0,9999)≈5,645, {displaystyle K(0,9999)umbes 5,645, } näiteks.Füüsiline näide, kui k=1{displaystyle k=1} on siis, kui pendel lastakse lahti 180° nurga alt, mis tähistab ebastabiilset tasakaalupunkti. Selle elliptilise integraaliga kirjutatud periood siis lahkneb, sest pendel ei kuku kunagi alla. 7
Kontrollige seeriat teist tüüpi täieliku elliptilise integraali jaoks. Käesolevas artiklis esitatud tehnikaid kasutades saab leida ka selle integraali astmeread.E(k)=Ï€2âˆ'm=0∞[(2mâˆ'1)!!(2m)!!]2k2m1âˆ'2m{ displaystyle E(k)={frac {pi }{2}}sum _{m=0}^{infty }left[{frac {(2m-1)!!}{(2m)! !}}right]^{2}{frac {k^{2m}}{1-2m}}}E(k)=Ï€2[1âˆ'(12)2k21âˆ'(1â‹…32â‹… 4)2k43âˆ'(1â‹…3â‹…52â‹…4â‹…6)2k65âˆ'⋯]{displaystyle E(k)={frac {pi }{2}}left[1- vasak({frac {1}{2}}right)^{2}{frac {k^{2}}{1}}-left({frac {1cdot 3}{2cdot 4}}parem)^{2}{frac {k^{4}}{3}}-left({frac {1cdot 3cdot 5}{2cdot 4cdot 6}} right)^{2}{frac {k^{6}}{5}}-cdots right]}