Kui olete arvutust õppinud, õppisite kahtlemata põhifunktsioonide tuletise leidmise astmereeglit. Kui aga funktsioon sisaldab ruutjuure või radikaali märki, näiteks x{displaystyle {sqrt {x}}}, tundub võimsusreeglit keeruline rakendada. Kasutades lihtsat eksponendiasendust, muutub selle funktsiooni eristamine väga lihtsaks. Seejärel saate rakendada sama asendust ja kasutada arvutuse ahelreeglit, et eristada paljusid muid radikaale sisaldavaid funktsioone.
1
Vaadake üle tuletisinstrumentide võimsuse reegel. Esimene reegel, mille ilmselt õppisite tuletiste leidmiseks, on võimsusreegel. See reegel ütleb, et muutuja x{displaystyle x} korral, mis on tõstetud mistahes eksponendiks a{displaystyle a}, on tuletis järgmine: f(x)=xa{displaystyle f(x)=x^{a}} f′(x)=axa−1{displaystyle f^{prime }(x)=ax^{a-1}}Näiteks vaadake üle järgmised funktsioonid ja nende tuletised:If f(x)=x2{ displaystyle f(x)=x^{2}}, siis f′(x)=2x{displaystyle f^{prime }(x)=2x}Kui f(x)=3×2{displaystyle f( x)=3x^{2}}, siis f′(x)=2∗3x=6x{displaystyle f^{prime }(x)=2*3x=6x}Kui f(x)=x3{ displaystyle f(x)=x^{3}}, siis f′(x)=3×2{displaystyle f^{prime }(x)=3x^{2}}Kui f(x)=12×4{ displaystyle f(x)={frac {1}{2}}x^{4}}, siis f′(x)=4∗12×3=2×3{displaystyle f^{prime }(x)= 4*{frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}}
2
Kirjutage ruutjuur ümber eksponendiks. Ruutjuurfunktsiooni tuletise leidmiseks tuleb meeles pidada, et iga arvu või muutuja ruutjuure saab kirjutada ka eksponendiks. Aluseks kirjutatakse ruutjuure (radikaali) märgi all olev termin ja see tõstetakse astendajaks 1/2. Mõelge järgmistele näidetele:x=x12{displaystyle {sqrt {x}}=x^{frac {1}{2}}}4=412{displaystyle {sqrt {4}}=4^{ frac {1}{2}}}3x=(3x)12{displaystyle {sqrt {3x}}=(3x)^{frac {1}{2}}}
3
Rakendage võimsuse reeglit. Kui funktsioon on lihtsaim ruutjuur, f(x)=x{displaystyle f(x)={sqrt {x}}}, rakendage tuletise leidmiseks võimsusreeglit järgmiselt: f(x)=x     {displaystyle f(x)={sqrt {x}} }(Kirjutage algne funktsioon.)f(x)=x(12)     {displaystyle f( x)=x^{({frac {1}{2}})} }(Kirjuta radikaal ümber eksponendiks.)f′(x)=12x(12−1)   {displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{({frac {1}{2}}-1)} }(Leia tuletis võimsusreegel.)f′(x)=12x(−12)   {displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{(-{ frac {1}{2}})} }(Lihtsusta eksponenti.)
4
Lihtsusta tulemust. Selles etapis peate mõistma, et negatiivne astendaja tähendab arvu pöördarvu võtmist positiivse eksponendiga. Eksponent −12{displaystyle -{frac {1}{2}}} tähendab, et teil on aluse ruutjuur murdosa nimetajaks. Jätkates funktsiooni x ruutjuurega ülalt, tuletist saab lihtsustada järgmiselt:f′(x)=12x−12{displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}x^{-{frac {1} {2}}}}f′(x)=12∗1x{displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2}}*{frac {1}{sqrt { x}}}}f′(x)=12x{displaystyle f^{prime }(x)={frac {1}{2{sqrt {x}}}}}
5
Vaadake funktsioonide ketireeglit üle. Ahelireegel on tuletiste reegel, mida kasutate siis, kui algne funktsioon kombineerib funktsiooni teise funktsiooniga. Ahelireegel ütleb, et kahe funktsiooni f(x){displaystyle f(x)} ja g(x){displaystyle g(x)} korral võib nende kahe kombinatsiooni tuletise leida järgmiselt:Kui y=f(g(x)){displaystyle y=f(g(x))}, siis y′=f′(g)∗g′(x){displaystyle y^{prime }=f^{prime }(g)*g^{prime }(x)}.
6
Määratlege ahelreegli funktsioonid. Ahelreegli kasutamine eeldab, et peate esmalt määratlema kaks funktsiooni, mis moodustavad teie kombineeritud funktsiooni. Ruutjuurfunktsioonide puhul on välimine funktsioon f(g){displaystyle f(g)} ruutjuurfunktsioon ja sisemine funktsioon g(x){displaystyle g(x)} on see, mis on radikaali all. Oletame näiteks, et soovite leida 3x+2{displaystyle {sqrt {3x+2}}} tuletist. Defineerige kaks osa järgmiselt: f(g)=g=g12{displaystyle f(g)={sqrt {g}}=g^{frac {1}{2}}}g(x)=( 3x+2){displaystyle g(x)=(3x+2)}
7
Leia kahe funktsiooni tuletised. Ahelreegli rakendamiseks funktsiooni ruutjuurele peate esmalt leidma üldise ruutjuure funktsiooni tuletise:f(g)=g=g12{displaystyle f(g)={sqrt {g} }=g^{frac {1}{2}}}f′(g)=12g−12{displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2}}g^ {-{frac {1}{2}}}}f′(g)=12g{displaystyle f^{prime }(g)={frac {1}{2{sqrt {g}} }}}Seejärel leidke teise funktsiooni tuletis:g(x)=(3x+2){displaystyle g(x)=(3x+2)}g′(x)=3{displaystyle g^{ prime }(x)=3}
8
Kombineerige ahelreegli funktsioonid. Tuletage meelde ahelreeglit y′=f′(g)∗g′(x){displaystyle y^{prime }=f^{prime }(g)*g^{prime }( x)} ja seejärel kombineerige tuletised järgmiselt: y′=12g∗3{displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {g}}}}*3}yâ €²=12(3x+2∗3{displaystyle y^{prime }={frac {1}{2{sqrt {(3x+2}}}}*3}y′=32(3x) +2{displaystyle y^{prime }={frac {3}{2{sqrt {(3x+2}}}}}
9
Õppige mis tahes radikaalfunktsiooni tuletisi otseteed. Kui soovite leida muutuja või funktsiooni ruutjuure tuletist, saate rakendada lihtsat mustrit. Tuletis on alati radikandi tuletis, jagatud algse ruutjuure kahekordsega. Sümboolselt võib seda näidata järgmiselt:Kui f(x)=u{displaystyle f(x)={sqrt {u}}}, siis f′(x)=u′2u{displaystyle f^{ prime }(x)={frac {u^{prime }}{2{sqrt {u}}}}}
10
Leia radikandi tuletis. Radikand on ruutjuure märgi all olev termin või funktsioon. Selle otsetee rakendamiseks leidke üksi radikandi tuletis. Mõelge järgmistele näidetele: Funktsioonis 5x+2{displaystyle {sqrt {5x+2}}} on radikandiks (5x+2){displaystyle (5x+2)}. Selle tuletis on 5{displaystyle 5}. Funktsioonis 3×4{displaystyle {sqrt {3x^{4}}}} on radikand 3×4{displaystyle 3x^{4}}. Selle tuletis on 12×3{displaystyle 12x^{3}}. Funktsioonis sin(x){displaystyle {sqrt {sin(x)}}} on radikandiks sinâ¡(x){displaystyle sin (x)}. Selle tuletis on cosâ¡(x){displaystyle cos(x)}.
11
Kirjuta murdu lugejaks radikandi tuletis. Radikaalfunktsiooni tuletis hõlmab murdosa. Selle murru lugeja on radikandi tuletis. Seega on ülaltoodud näidisfunktsioonide puhul tuletise esimene osa järgmine: Kui f(x)=5x+2{displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}, siis f†²(x)=5denom{displaystyle f^{prime }(x)={frac {5}{text{denom}}}}Kui f(x)=3×4{displaystyle f(x)={ sqrt {3x^{4}}}}, siis f′(x)=12x3denom{displaystyle f^{prime }(x)={frac {12x^{3}}{text{denom} }}}Kui f(x)=sinâ¡¡(x){displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}}}, siis f′(x)=cosâ¡¡(x) denom{displaystyle f^{prime }(x)={frac {cos(x)}{text{denom}}}}
12
Kirjutage nimetaja algse ruutjuure kahekordseks. Seda otseteed kasutades on nimetaja algse ruutjuure funktsiooni kaks korda suurem. Seega on kolme ülaltoodud näidisfunktsiooni puhul tuletise nimetajad järgmised: For f(x)=5x+2{displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}, siis f′( x)=num25x+2{displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{num}}{2{sqrt {5x+2}}}}}Kui f(x)=3×4 {displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}, siis f′(x)=num23x4{displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{ arv}}{2{sqrt {3x^{4}}}}}}Kui f(x)=sinâ¡¡(x){displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}} }, siis f′(x)=num2sinâ¡¡(x){displaystyle f^{prime }(x)={frac {text{num}}{2{sqrt {sin(x) }}}}}
13
Tuletise leidmiseks ühendage lugeja ja nimetaja. Pange murru kaks poolt kokku ja tulemuseks on algfunktsiooni tuletis. Kui f(x)=5x+2{displaystyle f(x)={sqrt {5x+2}}}, siis f′(x)=525x+2{displaystyle f^{prime }(x)={frac {5}{2{sqrt {5x+2}}}}}Kui f(x)=3×4 {displaystyle f(x)={sqrt {3x^{4}}}}, siis f′(x)=12x323x4{displaystyle f^{prime }(x)={frac {12x^{ 3}}{2{sqrt {3x^{4}}}}}}Kui f(x)=sinâ¡¡(x){displaystyle f(x)={sqrt {sin(x)}} }, siis f′(x)=cosâ¡¡(x)2sinâ¡¡(x){displaystyle f^{prime }(x)={frac {cos(x)}{2{sqrt {sin(x)}}}}}