Diferentseerimine on arvutuse üks põhiprotsesse. Funktsiooni (tavaliselt nimetatakse f(x)-ks) diferentseerimise tulemuseks on teine funktsioon, mida nimetatakse tuletiseks ja mis on kirjutatud kujul f'(x) (“x-i f algmäär”). Sellel tuletisel on palju kasutusvõimalusi füüsikas ja matemaatikas. Näiteks kui kujutame polünoomi f(x) graafikut, siis tuletis f'(x) ütleb meile algfunktsiooni kalde (muutuse kiiruse) kõigis selle punktides. Selle artikli esimene osa õpetab teid polünoomi iga liiget ükshaaval eristama. Teises osas kasutatakse seda lähenemisviisi tüüpilise näiteprobleemi läbimiseks, eristades tervet polünoomi. Pärast mõningast harjutamist on 5×3{displaystyle 5x^{3}} eristamine sama teine kui korrutamine ja jagamine.
1
Eristage mis tahes konstant nulliga. Konstant on mis tahes tavaline arv ilma muutujata, näiteks 3, -16 või 2/3{displaystyle 2/3}. Need on mis tahes eristamisülesannete puhul tasuta, kuna nende tuletis on alati 0. Lihtsalt kriipsutage see termin läbi ja liikuge edasi. Kirjutage see kujul ddx(3)=0{displaystyle {frac {mathrm {d} }{ matemaatika {d} x}}(3)=0}. See ütleb: “3 tuletis x suhtes on 0.” Termini tuletis on selle liikme “muutuse määr”: kui kiiresti see liige funktsiooni sees muutub. Kuna konstant ei muutu kunagi (3 jääb alati 3-ks), on selle muutumise kiirus alati null.
2
Eristage x1{displaystyle x^{1}} 1-ks. Mõistet x1{displaystyle x^{1}} (mida me tavaliselt kirjutame lihtsalt x{displaystyle x}) on lihtne eristada, kui teate, reegel. X{displaystyle x} tuletis x{displaystyle x} suhtes on alati 1. Kirjutage see kujul ddx(x)=1{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(x)=1}. Märkus dx tähendab “tuletist x suhtes”. See tähendab, et me muudame x väärtust ja näeme, kui palju kiiremini või aeglasemalt muutub teine termin vastuseks. Funktsioonis ddx(x){displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(x)} võrdleme x-i muutust x-i muutusega. See on sama asi, mistõttu muutuse määr on 1.
3
Kirjutage x2{displaystyle x^{2}} tuletis kujul 2x{displaystyle 2x}. Eksponendi 2 liigub x-i ette, et saada koefitsiendiks (arv korrutatakse x-ga).) Samal ajal väheneb x2{displaystyle x^{2}} väärtuseks x{displaystyle x}. Kas olete märganud muster? Tuletises on muutuja eksponendi väärtus alati ühe võrra väiksem, kui see oli algses liikmes. x2{displaystyle x^{2}} “alandab” versioonile x1{displaystyle x^{1}} (mis on x) ja x1{displaystyle x^{1}} “alandab” versioonile x0{ kuvastiil x^{0}} (mis võrdub 1-ga). Kuna muutuja eksponendi väärtust nimetatakse polünoomi “astmeks”, siis võib öelda, et liikme eristamine vähendab selle liikme astet ühe võrra.
4
Eristage xn{displaystyle x^{n}}, et saada nxn−1{displaystyle nx^{n-1}}. Või inglise keeles: astendajaks tõstetud muutuja x eristamiseks kirjuta see astendaja x ette koefitsiendiks, seejärel vähenda eksponenti 1 võrra. See on üks kasulikumaid diferentseerimisreegleid. Ülaltoodud reeglid x2{displaystyle x^{2}} ja x{displaystyle x} tuletamiseks on tegelikult vaid konkreetsed näited sellest üldreeglist. Näide: mis on ddx(x7){displaystyle {frac {mathrm { d} }{mathrm {d} x}}(x^{7})} (x7{displaystyle x^{7}} tuletis x suhtes)?Astendist 7 saab koefitsient ees terminist: 7x?{displaystyle 7x^{?}}Uus astendaja on algsest ühe võrra madalam, 7-1=6. Vastus on 7×6{displaystyle 7x^{6}}.
5
Korrutage algse liikme koefitsiendiga. Muutuja ees olev koefitsient ei muutu termini eristamisel. Kui teie vastuses on rohkem kui üks koefitsient, korrutage need kokku.Näide: mis on ddx(5×3){displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(5x^ {3})}?ddx(5×3)=5×ddx(x3){displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(5x^{3})=5times {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(x^{3})} (See tähendab, et leiame x3{displaystyle x^{3}} tuletise, seejärel korrutame meie vastuseks 5.) x3{displaystyle x^{3}} tuletise leidmiseks tehke astendajast 3 koefitsient, seejärel vähendage eksponenti 1 võrra: ddx(x3)=3×2{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(x^{3})=3x^{2}}Sisestage see uuesti oma valemisse ja korrutage kaks koefitsienti kokku: 5×ddx(x3)=5×3×2 =15×2{displaystyle 5times {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(x^{3})=5times 3x^{2}=15x^{2}}
6
Käsitlege iga terminit eraldi probleemina. Polünoomid sisaldavad mitut terminit, mis on kokku liidetud või lahutatud. Polünoomi eristamiseks eristage iga terminit eraldi. Võite jätta kõik liitmis- ja lahutamissümbolid rahule. Näiteks võtke f(x)=−12×3+x2−5x+6{displaystyle f(x)=-12x^{3}+x^{2} -5x+6}. Tuletis f′(x){displaystyle f'(x)} on võrdne iga termini tuletisega, mis on lisatud või lahutatud nii, nagu need olid originaalis. Matemaatilises mõttes võime selle kirjutada järgmiselt:ddx( f(x))=ddx(−12×3+x2−5x+6){displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(f(x))={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(-12x^{3}+x^{2}-5x+6)} =ddx(−12×3)+ddx(x2)−ddx (5x)+ddx(6){displaystyle ={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(-12x^{3})+{frac {mathrm {d} } {mathrm {d} x}}(x^{2})-{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(5x)+{frac {mathrm {d} } {mathrm {d} x}}(6)}.
7
Vabanege pidevast tähtajast. Kui on olemas konstant (muutujata termin), kustutage see. Diferentseerimine eemaldab alati konstantse liikme. Meie näites on 6 konstant. ddx(6)=0{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(6)=0}, et saaksime sellest lahti. Ettevaatust: ainult muutujateta terminid on konstandid. See reegel ei mõjuta numbreid, mis on korrutatud x-i või mõne muu muutujaga.
8
Liigutage iga muutuja astendaja termini ette. Pidage meeles, et kui me eristame, muutub iga muutuja astendaja koefitsiendiks. Kui termini ees on juba koefitsient, korrutage need kaks koefitsienti kokku.f′(x)=ddx(−12×3)+ddx(x2)−ddx(5x){displaystyle f'(x) ={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(-12x^{3})+{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(x ^{2})-{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(5x)}=(3×−12)x?+2x?âˆ'(1×5)x ?{displaystyle =(3times -12)x^{?}+2x^{?}-(1times 5)x^{?}}=−36x?+2x?−5x?{ displaystyle =-36x^{?}+2x^{?}-5x^{?}}Kuna x=x1{displaystyle x=x^{1}}, võtsime astendaja “1” ja teisaldasime selle 5x {displaystyle 5x} termin. Kuna 1-ga korrutamine ei muuda terminit, võite selle sammu vahele jätta, kui saate aru, mis toimub.
9
Alandage iga eksponenti ühe kraadi võrra. Selleks lahutage iga muutuja igast astendajast 1.f′(x)=−36×3−1+2×2−1−5×1−1{displaystyle f'(x)=-36x^{3-1 }+2x^{2-1}-5x^{1-1}}=−36×2+2×1−5×0{displaystyle =-36x^{2}+2x^{1}-5x^{0}}= −36×2+2x−5{displaystyle =-36x^{2}+2x-5}Pidage meeles, et x1{displaystyle x^{1}} on sama mis x{displaystyle x}. Samuti pidage meeles, et kõik, mis on tõstetud nulli astmeni (x0{displaystyle x^{0}}), võrdub 1-ga.
10
Leidke uue võrrandi väärtus antud “x” väärtuse juures. Olete eristamise juba lõpetanud, kuid testiprobleemide puhul on tavaline järgmine samm. Kui teil palutakse väärtuse x jaoks “avaldist hinnata”, piisab, kui asendada iga x uues võrrandis antud väärtusega ja lahendada. Näiteks hinnake tuletist f'(x) punktis x =2.Leitud tuletisvõrrand on f′(x)=−36×2+2x−5{displaystyle f'(x)=-36x^{2}+2x-5}f′(2)= −36(2)2+2(2)−5{displaystyle f'(2)=-36(2)^{2}+2(2)-5}=−36(4)+4∠‘5{displaystyle =-36(4)+4-5}=−144+4−5{displaystyle =-144+4-5}=−145{displaystyle =-145}See vastus on seotud algsele funktsioonile f(x). See ütleb meile, et kui tõmbame selle funktsiooni puutuja joonega x=2, on selle puutuja kalle -145.