Vektorarvutuses on lahknemine ja kõverdumine kaks olulist tüüpi operaatoreid, mida vektorväljadel kasutatakse. Kuna vektorväljad on üldlevinud, on need kaks operaatorit laialdaselt rakendatavad füüsikateadustes.
1
Saage aru, mis on lahknevus. Erinevus on allika või valamu mõõt konkreetses punktis. – Teisisõnu, kui palju voolab punkti sisse või välja. Seega on see defineeritud ainult vektorväljade jaoks ja väljastab skalaari. Allpool on näide positiivse lahknemisega väljast. Lahknemise tunneb ära div{displaystyle operaatorinimi {div} } või ∇⋅{displaystyle nabla cdot }, kus punkt tähistab sarnasust võtmisega täpptoode.
2
Võtke osatuletisi punktkorrutis F{displaystyle mathbf {F} } komponentidega, seejärel liidage tulemused. See kehtib vektorväljade kohta F=Fxx^+Fyy^+Fzz^{displaystyle mathbf {F} =F_{x}mathbf {hat {x}} +F_{y}mathbf {hat {y} } +F_{z}mathbf {hat {z}} } defineeritud ainult Descartes’i koordinaatidega.∇⋅F=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)â‹ …(Fx,Fy,Fz)=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z{displaystyle nabla cdot mathbf {F} =left({frac {partial ) partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}right)cdot (F_{x},F_{y},F_ {z})={frac {partial F_{x}}{partial x}}+{frac {partial F_{y}}{partial y}}+{frac {partial F_{z }}{osaline z}}}
3
Kasutage viitena alltoodud valemeid. Kui vektorväli F{displaystyle mathbf {F} } on antud silindriliste (Ï,Ï•,z){displaystyle (rho ,phi ,z)} või sfääriliste koordinaatidena (r,θ,Ï •){displaystyle (r,theta ,phi )} (kus θ{displaystyle theta } on polaarnurk), siis ei ole lahknemisel lihtsat vormi.∂Fx∂x+∂Fy∠‚y+∂Fz∂z{displaystyle {frac {partial F_{x}}{partial x}}+{frac {partial F_{y}}{partial y}}+{frac {partial F_{z}}{partial z}}}1Ï∂(ÏFÏ)∂Ï+1Ï∂Fϕ∂ϕ+∂Fz∂z {{displaystyle frac {1}{rho }}{frac {partial (rho F_{rho })}{partial rho }}+{frac {1}{rho }}{frac { osaline F_{phi }}{partial phi }}+{frac {partial F_{z}}{partial z}}}1r2∂(r2Fr)∂r+1rsinâ¡Î¸âˆ‚∠‚θ(Fθsinâ¡Î¸)+1rsinâ¡Î¸âˆ‚Fϕ∂ϕ{displaystyle {frac {1}{r^{2}}}{frac {partial ( r^{2}F_{r})}{partial r}}+{frac {1}{rsin theta }}{frac {partial }{partial theta }}(F_{ teeta }sin theta )+{frac {1}{rsin theta }}{frac {partial F_{phi }}{partial phi }}}
4
Arvutage järgmise funktsiooni lahknemine.F=(3×2−5x2y4)x^+(xy4z2−sinâ¡(2x2z3))y^+(5z2+yz)z^{displaystyle mathbf {F} =(3x^ {2}-5x^{2}y^{4})mathbf {hat {x}} +(xy^{4}z^{2}-sin(2x^{2}z^{3} ))mathbf {hat {y}} +(5z^{2}+yz)mathbf {hat {z}} }∇⋅F=6x−10xy4+4xy3z2+y+10z{displaystyle nabla cdot mathbf {F} =6x-10xy^{4}+4xy^{3}z^{2}+y+10z}Nagu näete, oleme kaardistanud vektorväljalt skalaarvälja.
5
Saage aru, mis on lokk. Vektorväljade jaoks määratletud kõverus on intuitiivselt tsirkulatsiooni hulk mis tahes punktis. Operaator väljastab teise vektorvälja. Keeris koosneb päriselus veest, mis toimib nullist erineva lokiga vektorväljana. Ülal on näide negatiivse lokiga väljast (kuna see pöörleb päripäeva). Curl tunneb ära curl{displaystyle operaatorinimi {curl} } või ∇×{displaystyle nabla times } järgi, kus kordade sümbol tähistab ristkorrutise võtmise sarnasust.
6
Seadistage determinant. Funktsiooni curl on sarnane kahe vektori ristkorrutisega, mistõttu on curl-operaator tähistatud tähega ∇×.{displaystyle nabla times .} Nagu varemgi, töötab see mnemoonika ainult siis, kui F{displaystyle mathbf {F} } on defineeritud Descartes’i koordinaatidena.∇×F=|x^y^z^∂/∂x∂/∂y∂/∂zFxFyFz|{displaytimes nabla mathbf {F} ={begin{vmatrix}mathbf {hat {x}} &mathbf {hat {y}} &mathbf {hat {z}} \partial /partial x&partial /partial y&partial /partial z\F_{x}&F_{y}&F_{z}end{vmatrix}}}
7
Leidke maatriksi determinant. Allpool teeme seda kofaktori laiendamise teel (laiendamine alaealiste poolt).∇×F=(∂Fz∂y−∂Fy∂z)x^âˆ'(∂Fz∂‚‚‚‚‹ y^+(∂Fy∂x−∂Fx∂y)z^{displaystyle nabla times mathbf {F} =left({frac {partial F_{z}}{partial y} }-{frac {partial F_{y}}{partial z}}right)mathbf {hat {x}} -left({frac {partial F_{z}}{partial x }}-{frac {partial F_{x}}{partial z}}right)mathbf {hat {y}} +left({frac {partial F_{y}}{partial x}}-{frac {partial F_{x}}{partial y}}right)mathbf {hat {z}} }
8
Kasutage viitena alltoodud valemeid. Curl ei ole lihtsa kujuga, kui F{displaystyle mathbf {F} } on silindrilistes või sfäärilistes koordinaatides. ∂Fx∂z)y^+(∂Fy∂x−∂Fx∂y)z^{displaystyle left({frac {partial F_{z}}{partial y}}-{ frac {partial F_{y}}{partial z}}right)mathbf {hat {x}} -left({frac {partial F_{z}}{partial x}}-{ frac {partial F_{x}}{partial z}}right)mathbf {hat {y}} +left({frac {partial F_{y}}{partial x}}- {frac {partial F_{x}}{partial y}}right)mathbf {hat {z}} }(1Ï∂Fz∂ϕ−∂Fϕ∂z)Ï ^âˆ'(∂Fz∂Ï−∂FÏ∂z)Ï•^+1Ï(∂(ÏFÏ•)∂Ïâƒ∠)z^{displaystyle left({frac {1}{rho }}{frac {partial F_{z}}{partial phi }}-{frac {partial F_{phi } }{partial z}}right){boldsymbol {hat {rho }}}-left({frac {partial F_{z}}{partial rho }}-{frac { osaline F_{rho }}{partial z}}right){boldsymbol {hat {phi }}}+{frac {1}{rho }}left({frac {partial ( rho F_{phi })}{partial rho }}-{frac {partial F_{ rho }}{partial phi }}right)mathbf {hat {z}} }1rsin⡡θ(∂∂θ(FÏ•sinâ¡Î¸)−∂Fθ ∂ϕ)r^−1r(∂∂r(rFÏ•)−1sin⡡θ∂Fr∂ϕ)θ^+1r(∂âˆâθr(r) ‘∂Fr∂θ)Ï•^{displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{rsin theta }}left({frac {partial }{partial theta } }(F_{phi }sin theta )-{frac {partial F_{theta }}{partial phi }}right)mathbf {hat {r}} &-{frac { 1}{r}}left({frac {partial }{partial r}}(rF_{phi })-{frac {1}{sin theta }}{frac {partial F_ {r}}{partial phi }}right){boldsymbol {hat {theta }}}\&+{frac {1}{r}}left({frac {partial } {partial r}}(rF_{theta })-{frac {partial F_{r}}{partial theta }}right){boldsymbol {hat {phi }}}end{ joondatud}}}
9
Arvutage järgmise funktsiooni curl.F=(5x2y2−7xz3)x^+(4x−5xy−y4)y^+(xz+z2)z^{displaystyle mathbf {F} =(5x^{2} y^{2}-7xz^{3})mathbf {hat {x}} +(4x-5xy-y^{4})mathbf {hat {y}} +(xz+z^{2 })mathbf {hat {z}} }
10
Seadistage determinant.∇×F=|x^y^z^∂/∂x∂/∂y∂/∂zFxFyFz|{displaystyle nabla times mathbf {F} algus{vmatrix}mathbf {hat {x}} &mathbf {hat {y}} &mathbf {hat {z}} \partial /partial x&partial /partial y&partial / partial z\F_{x}&F_{y}&F_{z}end{vmatrix}}}Fx=5x2y2−7xz3{displaystyle F_{x}=5x^{2}y^{2}-7xz^ {3}}Fy=4x−5xy−y4{displaystyle F_{y}=4x-5xy-y^{4}}Fz=xz+z2{displaystyle F_{z}=xz+z^{2}}
11
Arvutage determinant.(∂Fz∂y−∂Fy∂z)x^=0−0{displaystyle left({frac {partial F_{z}}{partial y}}-{frac {partial F_{y}}{partial z}}right)mathbf {hat {x}} =0-0}(∂Fz∂x−∂Fx∂z)y^=zâˆ'( −21xz2){displaystyle left({frac {partial F_{z}}{partial x}}-{frac {partial F_{x}}{partial z}}right)mathbf {hat {y}} =z-(-21xz^{2})}(∂Fy∂x−∂Fx∂y)z^=(4−5y)−10x2y{displaystyle left({ frac {partial F_{y}}{partial x}}-{frac {partial F_{x}}{partial y}}right)mathbf {hat {z}} =(4- 5a)-10x^{2}{y}}
12
Jõuame vastuseni.∇×F=âˆ'(z+21xz2)y^+(4−5y−10x2y)z^{displaystyle nabla times mathbf {F} =-(z+21xz^{ 2})mathbf {hat {y}} +(4-5y-10x^{2}y)mathbf {hat {z}} }Pange tähele, et oleme kaardistanud teise vektorväljaga.