Bakterite populatsioonid, garanteeritud intressimääraga investeeritud raha, teatud linnade populatsioon; need kogused kipuvad plahvatuslikult kasvama. See tähendab, et mida suuremaks nad saavad, seda kiiremini nad kasvavad. Lühikese “kahekordistumisaja” või aja jooksul, mis kulub koguse kasvamiseks, võib isegi väike kogus kiiresti muutuda tohutuks. Siit saate teada, kuidas seda väärtust kiire ja lihtsa valemi abil leida, või süvenege selle matemaatikasse.
1
Kontrollige, kas kasvutempo on selle meetodi jaoks piisavalt väike. Kahekordistumisaeg on kontseptsioon, mida kasutatakse eksponentsiaalselt kasvavate koguste jaoks. Kõige levinumad näited on intressimäärad ja rahvastiku kasv. Kui kasvutempo on väiksem kui umbes 0,15 intervalli kohta, saame kasutada seda kiiret meetodit hea hinnangu saamiseks. Kui probleem ei anna teile kasvumäära, saate selle leida kümnendkohana, kasutades CurrentQuantity−PastQuantityPastQuantity{displaystyle {frac {CurrentQuantity-PastQuantity}{PastQuantity}}}. Näide 1: saare rahvaarv kasvab eksponentsiaalne määr. Aastatel 2015–2016 kasvab rahvaarv 20 000-lt 22 800-le. Kui suur on rahvastiku kasvutempo?22 800 – 20 000 = 2800 uut inimest. 2800 ÷ 20 000 = 0,14, seega kasvab rahvaarv 0,14 võrra aastas. See on piisavalt väike, et hinnang oleks üsna täpne.
2
Korrutage kasvumäär 100-ga, et väljendada seda protsentides. Enamik inimesi peab seda intuitiivsemaks kui kümnendmurru.Näide 1 (jätkub): saare kasvumäär oli 0,14, mis on kirjutatud kümnendmurruna. See tähistab 0,141{displaystyle {frac {0,14}{1}}}. Korrutage lugeja ja nimetaja 100-ga, et saada 0,141×100100=14100={displaystyle {frac {0.14}{1}}x{frac {100}{100}}={frac {14}{100}}= } 14% aastas.
3
Jagage 70 kasvuprotsendiga. Vastus on ajavahemike arv, mille jooksul kogus kahekordistub. Väljendage kasvumäära protsendina, mitte kümnendkohana, vastasel juhul on teie vastus välja lülitatud. (Kui teid huvitab, miks see “70 reegel” töötab, lugege allolevat üksikasjalikumat meetodit.)Näide 1 (jätkub): kasvumäär oli 14%, seega on vajalike ajavahemike arv 7014=5{displaystyle {frac {70}{14}}=5}.
4
Teisendage oma vastus soovitud ajaühikuks. Enamikul juhtudel on teil juba vastus aastate, sekundite või mõne muu mugava mõõtmise teel. Kui mõõtsite kasvukiirust pikema aja jooksul, võiksite siiski korrutada, et saada vastus üksikutes ajaühikutes. Näide 1 (jätkub): antud juhul, kuna mõõtsime kasvu ühe aasta jooksul , iga ajavahemik on üks aasta. Saarte elanikkond kahekordistub iga 5 aasta järel.Näide 2: lähedal asuv teine, ämblikega nakatunud saar on palju vähem populaarne. Samuti kasvas see 20 000 elanikult 22 800-le, kuid selleks kulus 20 aastat. Kui eeldada, et selle kasv on eksponentsiaalne, siis milline on selle rahvastiku kahekordistumise aeg? Selle saare kasvumäär on 20 aasta jooksul 14%. “70 reegel” ütleb meile, et kahekordistumiseks kulub ka 5 ajavahemikku, kuid sel juhul on iga ajavahemik 20 aastat. (5 ajavahemikku) x (20 aastat/ajavahemik) = 100 aastat, et ämblikuga nakatunud saare populatsioon kahekordistuks.
5
Mõistke eksponentsiaalse kasvumäära valemit. Kui alustate algsummaga A0{displaystyle A_{0}}, mis kasvab eksponentsiaalselt, kirjeldatakse lõppsummat Af{displaystyle A_{f}} valemiga Af=A0(1+r)t{displaystyle A_ {f}=A_{0}(1+r)^{t}}. Muutuja r tähistab kasvumäära ajavahemiku kohta (kümnendkohana) ja t on ajaperioodide arv. Selle valemi mõistmiseks kujutage ette 100-dollarist investeeringut aastase intressimääraga 0,02. Iga kord, kui arvutate kasvu, korrutate teil oleva summa 1,02-ga. Ühe aasta pärast on see (100 dollarit) (1,02), kahe aasta pärast (100 dollarit) (1,02) (1,02) ja nii edasi. See lihtsustab (1.02)t{displaystyle (1.02)^{t}}, kus t on ajaperioodide arv. Märkus. Kui r ja t ei kasuta sama ajaühikut, kasutage valemit Af=A0(1 +rn)nt{displaystyle A_{f}=A_{0}(1+{frac {r}{n}})^{nt}}, kus n on kasvu arvutamise arv ajavahemiku kohta. Näiteks kui r = 0,05 kuus ja t = 4 aastat, kasutage n = 12, kuna aastas on kaksteist kuud.
6
Kirjutage see pideva kasvu valem ümber. Enamikus reaalsetes olukordades kasvab kogus “pidevalt” selle asemel, et suureneda ainult korrapäraste ajavahemike järel. Sel juhul on kasvu valem Af=A0(e)rt{displaystyle A_{f}=A_{0}(e)^{rt}}, kasutades matemaatilist konstanti e. Seda valemit kasutatakse sageli ligikaudseks rahvastiku kasvu ja alati pidevalt liitintressi arvutamisel. Olukordades, kus kasvu arvutatakse korrapäraste ajavahemike järel, näiteks iga-aastane liitintress, on ülaltoodud valem täpsem. Saate selle tuletada ülaltoodud valemist, kasutades arvutuskontseptsioone.
7
Ühendage väärtused kahekordistunud populatsiooni jaoks. Kui populatsioon kahekordistub, võrdub lõppsumma Af{displaystyle A_{f}} kahekordse esialgse summaga ehk 2A0{displaystyle 2A_{0}}. Ühendage see valemiga ja eemaldage algebra abil kõik A-terminid:2A0=A0(e)rt{displaystyle 2A_{0}=A_{0}(e)^{rt}}Jagage mõlemad pooled A0-ga{displaystyle A_{ 0}}2=ert{displaystyle 2=e^{rt}}
8
Ümber korraldada lahendada t. Kui te pole veel logaritme õppinud, ei pruugi te teada, kuidas t eksponendist välja saada. Mõiste logm(n){displaystyle log_{m}(n)} tähendab “eksponenti m tõstetakse võrra, et saada n.” Kuna konstant e tuleb reaalsetes olukordades nii sageli ette, on olemas spetsiaalne termin “loomulik logi”, lühendatult “ln”, mis tähendab loge{displaystyle log_{e}}. Kasutage seda võrrandi ühel küljel t eraldamiseks:2=ert{displaystyle 2=e^{rt}}ln(2)=ln(ert){displaystyle ln(2)=ln(e^{rt} )}ln(2)=rt{displaystyle ln(2)=rt}ln(2)r=t{displaystyle {frac {ln(2)}{r}}=t}
9
Ühendage kasvutempo ja lahendage. Nüüd saate t lahendada, sisestades sellesse valemisse kümnendarvu kasvumäära r. Pange tähele, et ln(2) on ligikaudu võrdne 0,69-ga. Kui olete teisendanud kasvumäära kümnendkohalt protsendivormiks, saate selle väärtuse ümardada, et saada 70 reegli valem. Nüüd, kui teate seda valemit, saate seda sarnaste probleemide lahendamiseks kohandada. Näiteks leidke “kolmekordne aeg” valemiga ttriple=ln(3)r{displaystyle t_{triple}={frac {ln(3)}{r}}}.