Kiirus on määratletud kui objekti kiirus antud suunas. Paljudes levinud olukordades kasutame kiiruse leidmiseks võrrandit v = s/t, kus v võrdub kiirusega, s võrdub kogu nihkega objekti lähteasendist ja t võrdub kulunud ajaga. Kuid see annab tehniliselt ainult objekti keskmise kiiruse selle teel. Arvutuse abil on võimalik arvutada objekti kiirust igal hetkel mööda selle teekonda. Seda nimetatakse hetkekiiruseks ja see on defineeritud võrrandiga v = (ds)/(dt) ehk teisisõnu objekti keskmise kiiruse võrrandi tuletisega.
1
Alustage kiiruse võrrandiga nihkes. Objekti hetkekiiruse saamiseks peab meil kõigepealt olema võrrand, mis ütleb meile selle asukoha (nihke mõttes) teatud ajahetkel. See tähendab, et võrrandi ühel küljel peab muutuja s olema iseenesest ja t teisel (kuid mitte tingimata iseenesest) järgmiselt: s = -1,5t2 + 10t + 4Selles võrrandis on muutujad: Displacement = s . Kaugus, mille objekt on oma lähteasendist läbinud. Näiteks kui objekt liigub 10 meetrit edasi ja 7 meetrit tagasi, on selle kogunihe 10 – 7 = 3 meetrit (mitte 10 + 7 = 17 meetrit). Aeg = t . Iseenesest mõistetav. Tavaliselt mõõdetakse sekundites.
2
Võtke võrrandi tuletis. Võrrandi tuletis on lihtsalt erinev võrrand, mis ütleb teile selle kalde igal ajahetkel. Nihkevalemi tuletise leidmiseks eristage funktsiooni järgmise tuletise leidmise üldreegliga: Kui y = a*xn, tuletis = a*n*xn-1. Seda reeglit rakendatakse igale “t” poolel olevale liikmele. Teisisõnu, alustage võrrandi “t” külje läbimisega vasakult paremale. Iga kord, kui jõuate “t”-ni, lahutage astendajast 1 ja korrutage kogu liige algse eksponendiga. Kõik konstantsed liikmed (terminid, mis ei sisalda “t”) kaovad, kuna need korrutatakse 0-ga. See protsess ei ole tegelikult nii raske, kui see kõlab. Tuletame näitena ülaltoodud sammu võrrandi: s = -1,5 t2 + 10t + 4(2)-1,5t(2-1) + (1)10t1-1 + (0)4t0-3t1 + 10t0-3t + 10
3
Asendage “s” sõnaga “ds/dt”. Näitamaks, et meie uus võrrand on esimese tuletis, asendame “s” tähisega “ds/dt”. Tehniliselt tähendab see tähistus “s-i tuletist t suhtes”. Lihtsam viis seda mõelda on lihtsalt see, et ds/dt on esimese võrrandi mis tahes punkti kalle. Näiteks selleks, et leida sirge kaldenurk, mis on tehtud s = -1,5t2 + 10t + 4 juures t = 5, ühendaksime lihtsalt “5” selle tuletis t-ga. Meie jooksvas näites peaks meie valmis võrrand nüüd välja nägema nagu see: ds/dt = -3t + 10
4
Hetkekiiruse leidmiseks sisestage oma uue võrrandi jaoks t väärtus. Nüüd, kui teil on tuletisvõrrand, on hetkekiiruse leidmine mis tahes ajahetkel lihtne. Kõik, mida pead tegema, on valima t väärtuse ja ühendama selle oma tuletisvõrrandiga. Näiteks kui tahame leida hetkekiirust, kui t = 5, asendaksime tuletises ds/dt = -3 + 10 t väärtusega “5”. Seejärel lahendaksime võrrandi järgmiselt: ds /dt = -3t + 10ds/dt = -3(5) + 10ds/dt = -15 + 10 = -5 meetrit sekundis. Pange tähele, et me kasutame ülaltoodud silti “meetrit sekundis”. Kuna me käsitleme nihkumist meetrites ja aega sekundites ning kiirus on üldiselt vaid ajaline nihkumine, on see silt asjakohane.
5
Joonistage oma objekti nihkumine aja jooksul. Ülaltoodud jaotises mainisime, et tuletised on lihtsalt valemid, mis võimaldavad meil leida igas punktis selle võrrandi kalde, mille tuletise võtate. Tegelikult, kui kujutate objekti nihet graafikul joonega, on joone kalle mis tahes punktis võrdne objekti hetkekiirusega selles punktis. Objekti nihke graafiku kujutamiseks kasutage x-telge aja ja y-telg, mis tähistab nihet. Seejärel lihtsalt joonistage punktid, ühendades t väärtused oma nihkevõrrandisse, hankides oma vastuste jaoks s väärtused ja märkides graafikule punktid t,s (x,y). Pange tähele, et graafik võib ulatuda x-teljest allapoole. Kui teie objekti liikumist tähistav joon langeb allapoole x-telge, tähistab see teie objekti liikumist algusest tagapool. Üldiselt ei ulatu teie graafik y-telje taha – me ei mõõda sageli ajas tagasi liikuvate objektide kiirust!
6
Valige sirgel üks punkt P ja punkt Q, mis asub selle lähedal. Sirge kalde leidmiseks ühes punktis P kasutame trikki nimega “piiri võtmine”. Piirangu võtmine hõlmab kahe punkti (P, pluss Q, selle lähedal asuv punkt) võtmist kõverjoonel ja neid ühendava joone kalde leidmist ikka ja jälle, kui kaugus P ja Q vahel väheneb. Oletame, et meie nihe rida sisaldab punkte (1,3) ja (4,7). Sel juhul, kui tahame leida kalle (1,3), saame määrata (1,3) = P ja (4,7) = Q.
7
Leidke kalle P ja Q vahel. P ja Q vaheline kalle on P ja Q y-väärtuste erinevus P ja Q x-väärtuste erinevusest. Teisisõnu, H = (yQ – yP)/( xQ – xP), kus H on kahe punkti vaheline kalle. Meie näites on P ja Q vaheline kalle: H = (yQ – yP)/(xQ – xP)H = (7 – 3)/(4 – 1) H = (4)/(3) = 1,33
8
Korrake mitu korda, liigutades Q-d P-le lähemale. Teie eesmärk on muuta P ja Q vaheline kaugus järjest väiksemaks, kuni see jõuab ühe punkti lähedale. Mida väiksemaks muutub P ja Q vaheline kaugus, seda lähemal on teie pisikeste joonelõikude kalle punkti P kaldele. Teeme seda paar korda näitevõrrandi jaoks, kasutades punkte (2,4.8), (1.5). ,3,95) ja (1,25, 3,49) Q puhul ning meie algne punkt (1,3) P:Q = (2,4,8): H = (4,8 – 3)/(2 – 1) H = (1,8) )/(1) = 1,8Q = (1,5, 3,95): H = (3,95 – 3)/(1,5 – 1) H = (,95)/(,5) = 1,9Q = (1,25, 3,49): H = (3,49-3)/(1,25-1)H = (,49)/(,25) = 1,96
9
Hinnake kalle lõpmatult väikese intervalli joonel. Kui Q läheneb P-le järjest lähemale, läheneb H punktis P olevale kaldele aina lähemale. Lõpmatult väikese intervalliga võrdub H kaldega punktis P. Kuna me ei saa mõõta ega arvutada lõpmatult väikese intervalliga, hindame lihtsalt kallet punktis P, kui see on proovitud punktide põhjal selge. Meie näites, kui nihutasime Q P-le lähemale, saime H jaoks väärtused 1,8, 1,9 ja 1,96. Kuna need arvud ilmuvad et läheneda 2-le, võime öelda, et 2 on hea hinnang kaldele punktis P. Pidage meeles, et sirge antud punkti kalle on võrdne sirge võrrandi tuletisega selles punktis. Kuna meie joon näitab meie objekti nihet ajas ja nagu nägime ülaltoodud jaotises, on objekti hetkekiirus selle nihke tuletis antud punktis, võime ka öelda, et 2 meetrit sekundis on hea hinnang hetkkiirus t = 1.
10
Leidke hetkkiirus t = 4 nihke võrrandiga s = 5t3 – 3t2 + 2t + 9. See on täpselt nagu meie näide esimeses osas, välja arvatud see, et tegemist on pigem kuupvõrrandiga kui ruutvõrrandiga, nii et saame selle lahendada samal viisil. Esiteks võtame võrrandi tuletise: s = 5t3 – 3t2 + 2t + 9s = (3)5t(3 – 1) – (2)3t(2 – 1) + ( 1)2t(1-1) + (0)9t0-115t(2)-6t(1) + 2t(0)15t(2)-6t + 2Seejärel ühendame t (4) väärtuse: s = 15 t (2) – 6 t + 215 (4) (2) – 6 (4) + 215 (16) – 6 (4) + 2240 – 24 + 2 = 218 meetrit sekundis
11
Kasutage graafilist hinnangut, et leida hetkekiirus (1,3) nihkevõrrandi s = 4t2 – t jaoks. Selle ülesande jaoks kasutame P-punktina (1,3), kuid peame leidma selle läheduses mõned teised punktid, mida Q-punktidena kasutada. Seejärel tuleb lihtsalt leida H väärtused ja teha hinnang. Esmalt leiame Q-punktid t = 2, 1,5, 1,1 ja 1,01.s = 4t2 – tt = 2: s = 4(2)2 – ( 2) 4 (4) – 2 = 16 – 2 = 14, seega Q = (2,14)t = 1,5: s = 4(1,5)2 – (1,5)4 (2,25) – 1,5 = 9 – 1,5 = 7,5 , seega Q = (1,5,7,5)t = 1,1: s = 4(1,1)2 – (1,1)4(1,21) – 1,1 = 4,84 – 1,1 = 3,74, seega Q = (1,1,3,74)t = 1,01: s = 4 (1,01) 2 – (1,01) 4 (1,0201) – 1,01 = 4,0804 – 1,01 = 3,0704, seega Q = (1,01, 3,0704) Järgmiseks saame H väärtused: Q = (2,14): H = ( 14-3)/(2-1)H = (11)/(1) = 11Q = (1,5,7,5): H = (7,5-3)/(1,5-1)H = (4,5)/(,5) ) = 9Q = (1,1, 3,74): H = (3,74 – 3)/(1,1 – 1) H = (,74)/(,1) = 7,3 Q = (1,01, 3,0704): H = (3,0704 – 3) )/(1,01 – 1)H = (.0704)/(.01) = 7,04 Kuna meie H väärtused näivad lähenevat 7-le väga lähedale, võime öelda, et 7 meetrit sekundis on hetkekiiruse jaoks hea hinnang (1,3).