Jätkuvad murded on üks arvu vaatamise viise; neid tavaliselt ei õpetata, kuid need võivad näidata sügavaid mustreid ja erakordseid sümmeetriaid arvudes, mis on muidu üsna tunnusteta, kui need on tüüpilisemalt esindatud erinevates alustes või murdude, kümnendkohtade, logaritmide, astmetena või lihtsalt sõnadena. See artikkel tutvustab Microsoft Exceli arvutustabelivormingus jätkuvate murdudega töötamise õppimise võimsust. Sarja järgmine artikkel „XL-i töölehe loomine jätkuvate murdude jaoks“ käsitleb jätkuvate murdude arvutustabeli analüüsi loomist.
1
Avage Microsoft Excelis uus arvutustabel. Veenduge, et jaotises Eelistused jaotises Üldine ruut “Kasuta R1C1 viitestiili” oleks märkimata, et veerud oleksid esitatud tähestikulises järjekorras.
2
Näiteks teisendage 40/31 jätkuvaks murdeks. Siin on see, mida peate teadma: on teada, et 40/31 on suurem kui 1, seega on 31/31 + 9/31 viimane samm 40/31 jaoks;Iga samm on ümber pööratud, seega on 31/9 viimase sammu kõrval, st 27/9 =3, seega 3+4/9, ainult 40/31 jaoks; 4/9 tuleb ümber pöörata, nii et esimene samm oleks 9/4, mis on 2+1/ 4, 40/31 jaoks. Sisestage lahtritesse A1 kuni A4 numbrijada 4, 2, 3, 1. Sisestage lahtrisse C2, 2+1/4Sisestage lahtrisse C3, 3+1/(2+1/4) ja pange tähele, kuidas lahtris C2 olev teave nimetajas kordus. Sisestage lahtrisse C4 1+1/(3+1/(2+1/4)) ja pange tähele, et nüüd on 2 nimetajat ja teave mõlemast lahtrist C3 ja C2 kasutati C4-s.Sisestage lahtrisse D2, 9/4Sisestage lahtrisse D3, 31/9Sisestage lahtrisse D4, 40/31 (meie sihtfraktsioon!)Sisestage lahtrisse E3, 3+4/9Sisestage lahtrisse E4, 1+9/31 (31/31 + 9/31 = 40/31).Sisestage lahtrisse B1 valem ilma jutumärkideta, “=A1″Sisestage lahtrisse B2 valem ilma jutumärkideta, “=A2+1/B1 “Sisestage lahtrisse B3 valem ilma jutumärkideta, “=A3+1/B2″Sisestage lahtrisse B4 valem ilma jutumärkideta “=A4+1/B3″Kinnitage, et valemi tulemus lahtris B4 on 1,29032258064516, kui lahter on kuvamiseks vormindatud 14-kohaliseks numbriks.Sisestage lahtrisse B6 valem ilma jutumärkideta, “= 40/31”. Sama tulemus peaks ilmnema. Kopeerige lahter C4 lahtrisse C6 ja kleepige see, seejärel sisestage algusse märk = ja vajutage nuppu Enter. Sama tulemus, 1,29032258064516, kuvatakse just konstrueeritud jätkuva murdosa õigsuse tõttu.
3
Vaatleme ruutvõrrandit, võrrand [1]: x^2 – bx – 1 = 0. Sellest tuletatakse jätkuva murru raamistik. Jagades x-ga saame selle ümber kirjutada võrrandiks [2]: x= b +1/ xAsendage selle võrrandi parempoolses servas antud avaldis x-iga parempoolses nimetajas, et saada võrrand [3]: x = b + 1/(b+ 1/x)Jätkake seda verepilastamist lõputult , et toota lõputu murdude trepp, mis on trükkijate õudusunenägu, võrrand [4] (tavaliselt laskub vertikaalselt iga nimiväärtuse joonega ja kasvab järjest väiksema kirjasuurusega):x = b + 1/(b+ 1/ (b+ 1/(b + …)))See trepp on näide jätkuvast murdosast. Kui pöördume tagasi võrrandi 1 juurde, saame ruutvõrrandi lihtsalt lahendada, et leida positiivne lahendus sellele, mis annab võrrandi 4 jätkuva murdosa laiendamise; see on võrrand [5]: x = (b + sqrt(b^2 +4))/2Valides b=1, genereerige kuldse keskmise phi jätkuv murdosa laienemine, nagu võrrand [6]:Phi = (sqrt( 5)+1)/2 = 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+))) 1/(1+1/(1+1/(1+…)))))))))))Defineerige arvu üldine jätkuv murru võrrand [7]:a0+1/(a1+ 1/(a2+1/(a3+1/(1+…+1/(an+…)))))Kui an = [a(n)] on n+1 positiivset täisarvu, mida nimetatakse murdosa jätkuva laienemise osajagatised (cfe).
4
Kirjutage vormi võrrand [7] laiendus avaldisena [8]: [a0; a1,a2,a3,…,an,…], et vältida tülikat trepi märkimist.
5
Määrake, kui pikk võib jätkuv murd olla. Jätkuvad murrud võivad olla piiratud pikkusega või lõpmatud, nagu meie ülaltoodud näites. Lõplikud CFE-d on kordumatud seni, kuni me ei luba jagatist sulgudes olevas lõppkirjes (võrrand 8), seega peaksime näiteks 1/2 kirjutama kui [0; 2], mitte kui [0; 1,1]. Võime alati eemaldada 1 viimasest kirjest, lisades eelmisele kirjele. Kui cfe-d on piiratud pikkusega, tuleb neid hinnata taseme kaupa (alates alt) ja taandatakse alati ratsionaalseks murruks; näiteks ülaltoodud cfe 40/31. Siiski võivad cfe-d olla lõpmatu pikkusega, nagu ülaltoodud võrrandis 6. Lõpmatud cfe-d toodavad irratsionaalarvude esitusi. Kui teeme võrrandites 4 ja 5 oleva konstandi jaoks mõned erinevad valikud, saame genereerida veel huvitavaid laiendusi numbrite jaoks, mis on ruutvõrrandi lahendid. Tegelikult on kõigil täisarvukoefitsientidega ruutvõrrandi juurtel, nagu võrrandil 5, cfe-d, mis on lõpuks perioodilised, näiteks [2,2,2,3,2,3,2,…] või [2,1,1 ,4,4,1,1,4,1,1,4,…]. Siin on juhtterminid mõnest tähelepanuväärsest lõputu cfes-i näitest:e        = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, …] ruut(2) = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, …] ruut(3) = [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, …]π        = [3; 7, 15, 1 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2. 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, …]
6
Uurime täpsemalt pii-d, nüüd, kui on teada, et murrud näitavad palju enamat kui samade arvude lihtsad kümnendkohad. Nüüd, kui näete, kuidas see toimib, saate protsessi jätkata! Lõbutsege!! Lahtris A8 kasutage pi-sümboli Ï€ loomiseks Option+p. Muutke see paksuks ja joondage keskele. Sisestage lahtrisse B8 valem ilma jutumärkideta “=PI()”. Kas vormindage lahtrid täitke Canary Yellow ja Font Firetruck Red. Lahtrist A9 lahtrisse A31 sisestage ülaltoodud pi-seeria numbrid alates [3; 7, …, 84, 2].Kuna seeria esimesele numbrile 3 järgneb semikoolon, juhib see alati jätkuva murru edenemist, erinevalt näitest 40/31.Sisesta lahtrisse C10, 3+1/7.Sisestage lahtrisse C11, 3+1/(7+(1/15)).Sisestage lahtrisse C12, 3+1/(7+(1/(15+1/( 1)))).Sisestage lahtrisse C13, 3+1/(7+(1/(15+1/(1+1/(292)))))Sisestage lahtrisse D10, 22/7.Sisestage lahtrisse D11, 333/106Sisestage lahtrisse D12, 355/113.Sisestage lahtrisse D13, 103993/33102.Sisestage lahtrisse E10, 21/7+1/7.Sisestage lahtrisse E11, 318/106 + 15/106Sisestage lahtrisse E12 , 339/113 +16/113Sisestage lahtrisse E13, 99306/33102 + 4687/33102 4687)+293)/((7*((15*293)+292))+293)+(((15*293)+292))/((7*((15*293)+292) )+293)   kus 4687 = ((15*293)+292).Selle tulemus = 3,1415926530119, vs. Ï€ = 3,14159265358979, nii et see on üsna hea ligikaudne viis. . Pi CFE-de seeria peaks siiski olema vahemikus [3; 7, …, 84, 2] lahtrites A9 kuni A31. Kui ei, sisestage need ja kontrollige neid kohe.
7
Sisestage valem lahtrisse B31 ilma jutumärkideta “=A30+1/A31”. Tulemus peaks olema 84,5
8
Sisestage valem lahtrisse B30 ilma jutumärkideta “=A29+1/B31”. Tulemus peaks võrduma 1,01183431952663
9
Kopeerige lahter B30 lahtrivahemikku B10:B29. Lahtri B10 tulemus peaks olema 3,14159265358979, mis on pi, täpsusega 14 kohta pärast koma (mis on sama hea kui Microsoft Excelis).
10
Kui soovite, mõelge välja iga lahtri CFE-d vahemikus B31 kuni B10. See võtab veidi aega ja keskendumist, kuid hakkate hindama mehe, kes selle 1685. aastal välja mõtles, John Wallise (Isaac Newtoni õpetaja ja kaasaegne) tööd. Irratsionaalsete arvude jaoks vaatleme fraktaalavaldist. Pange tähele, et 14 kümnendkoha täpsuse saamiseks on vaja 23 rida vahemikus A9 kuni B31. Ma ei tea ühe ja teise suhet, kuid tundub, et see on üsna võimas vahend pi üsna täpseks arvutamiseks. n.b. Kui kõik jätkuva murdosa laiendamise lugejad on 1, nimetatakse seda “kanooniliseks”, vastasel juhul nimetatakse seda “üldistatuks”. Järgmised konvergentsed cfe-d Ï € jaoks on üldistatud:
11
Nüüd kontrollige sqrt(2), sqrt(3), e ja looge oma mustrid, mis on ilmselt mõne jaoks päris põnev! Õnn kaasa ja toredat olemist!!
12
Salvestage tööleht 1. lähenemisviisi või sarnase sobiva nimega ja salvestage fail nimega Continued Fractions või sarnase failinimega.
13
Lõplik pilt:
14
Kasutage selle õpetuse jätkamisel abiartikleid: vaadake artiklit Kuidas luua spiraalset keerdosakeste rada või kaelakee vormi või sfäärilist äärist, et näha Exceli, geomeetrilise ja/või trigonomeetrilise kunsti, diagrammide/diagrammide ja algebralise formuleerimisega seotud artiklite loendit. . Rohkemate kunstidiagrammide ja -graafikute jaoks võite klõpsata ka valikul Kategooria:Microsoft Exceli pildid, Kategooria:Matemaatika, Kategooria:Arvutustabelid või Kategooria:Graafika, et vaadata paljusid Exceli töölehti ja diagramme, kus trigonomeetria, geomeetria ja arvutus on muudetud kunstiks. või klõpsake lihtsalt kategoorial, nagu kuvatakse selle lehe paremas ülanurgas või lehe vasakus allnurgas.