Koosinusreegel on trigonomeetrias tavaliselt kasutatav reegel. Seda saab kasutada mittetäisnurksete kolmnurkade omaduste uurimiseks ja võimaldab seega leida puuduvat teavet, nagu küljepikkused ja nurkade mõõtmised. Valem sarnaneb Pythagorase teoreemiga ja seda on suhteliselt lihtne meelde jätta. Koosinusreegel ütleb, et iga kolmnurga puhul on c2=a2+b2−2abcosâ¡C{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos {C}}.
1
Hinnake, milliseid väärtusi teate. Kolmnurga puuduva küljepikkuse leidmiseks peate teadma ülejäänud kahe külje pikkust ja ka nendevahelise nurga suurust. Näiteks võib teil olla kolmnurk XYZ. Külg YX on 5 cm pikk. Külg YZ on 9 cm pikk. Nurk Y on 89 kraadi. Kui pikk on külg XZ?
2
Seadistage koosinusreegli valem. Seda nimetatakse ka koosinusseaduseks. Valem on c2=a2+b2−2abcosâ¡¡C{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos {C}}. Selles valemis võrdub c{displaystyle c} puuduva külje pikkusega ja cosâ¡C{displaystyle cos {C}} võrdub puuduva külje pikkuse vastasnurga koosinusega. Muutujad a{displaystyle a} ja b{displaystyle b} on kahe teadaoleva külje pikkused.
3
Ühendage teadaolevad väärtused valemiga. Muutujad a{displaystyle a} ja b{displaystyle b} on kaks teadaolevat küljepikkust. Muutuja C{displaystyle C} on teadaolev nurk, mis peaks olema a{displaystyle a} ja b{displaystyle b} vaheline nurk. Näiteks kuna külje XZ pikkus puudub, jääb see külje pikkus püsima. c{displaystyle c} jaoks valemis. Kuna küljed YX ja YZ on teada, on need kaks külje pikkust a{displaystyle a} ja b{displaystyle b}. Pole tähtis, kumb pool on milline muutuja. Muutuja C{displaystyle C} on nurk Y. Seega peaks teie valem välja nägema järgmine: c2=52+92−2(5)(9)cosâ¡89{displaystyle c^{2}=5^{ 2}+9^{2}-2(5)(9)cos {89}}.
4
Leidke teadaoleva nurga koosinus. Tehke seda kalkulaatori koosinusfunktsiooni abil. Sisestage lihtsalt nurga mõõtmine, seejärel vajutage nuppu COS{displaystyle COS}. Kui teil pole teaduslikku kalkulaatorit, leiate veebist koosinustabeli, näiteks Physics Labi veebisaidilt. Samuti võite lihtsalt sisestada Google’isse “koosinus x kraadi” (asendades nurga x-ga) ja otsingumootor annab arvutuse tagasi. Näiteks koosinus 89 on umbes 0,01745. Seega ühendage see väärtus oma valemisse: c2=52+92−2(5)(9)(0.01745){displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-2(5) (9)(0,01745)}.
5
Täitke vajalik korrutamine. Korrutate 2ab{displaystyle 2ab} teadaoleva nurga koosinusega. Näiteks:c2=52+92−2(5)(9)(0,01745){displaystyle c^{2}=5^{2}+9 ^{2}-2(5)(9)(0,01745)}c2=52+92−1.5707{displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-1,5707}
6
Lisa teadaolevate külgede ruudud. Pidage meeles, et arvu ruudustamisel korrutate selle iseendaga. Esmalt ruudustage kaks numbrit ja lisage need. Näiteks:c2=52+92−1.5707{displaystyle c^{2}=5^{2}+9^{2}-1.5707}c2=25+81−1.5707 {displaystyle c^{2}=25+81-1.5707}c2=106−1.5707{displaystyle c^{2}=106-1.5707}
7
Lahutage kaks väärtust. See annab teile c2{displaystyle c^{2}} väärtuse. Näiteks:c2=106−1.5707{displaystyle c^{2}=106-1.5707}c2=104.4293{displaystyle c^{2} =104.4293}
8
Võtke erinevuse ruutjuur. Tõenäoliselt soovite selle sammu jaoks kasutada kalkulaatorit, kuna ruutjuure arvul on palju komakohti. Ruutjuur võrdub kolmnurga puuduva külje pikkusega. Näiteks:c2=104.4293{displaystyle c^{2}=104.4293}c2=104.4293{displaystyle {sqrt {c^{2}}} ={sqrt {104.4293}}}c=10,2191{displaystyle c=10,2191}Niisiis on puuduva külje pikkus c{displaystyle c} 10,2191 cm pikk.
9
Hinnake, milliseid väärtusi teate. Kolmnurga puuduva nurga leidmiseks koosinusreegli abil peate teadma kolmnurga kõigi kolme külje pikkust. Näiteks võib teil olla kolmnurk RST. Külg SR on 8 cm pikk. Külg ST on 10 cm pikk. Külg RT on 12 cm pikk. Mis on nurga S mõõtmine?
10
Seadistage koosinusreegli valem. Valem on c2=a2+b2−2abcosâ¡¡C{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos {C}}. Selles valemis võrdub cosâ¡C{displaystyle cos {C}} selle nurga koosinusega, mida proovite leida. Muutuja c{displaystyle c} võrdub puuduva nurga vastasküljega. Muutujad a{displaystyle a} ja b{displaystyle b} on kahe ülejäänud külje pikkused.
11
Määrake a{displaystyle a}, b{displaystyle b} ja c{displaystyle c} väärtused. Ühendage need väärtused valemiga. Näiteks kuna külg RT on puuduva nurga S vastas, võrdub külg RT valemis c{displaystyle c}. Ülejäänud kaks külje pikkust on a{displaystyle a} ja b{displaystyle b}. Pole tähtis, kumb pool on milline muutuja. Seega peaks teie valem välja nägema järgmine: 122=82+102−2(8)(10)cosâ¡¡C{displaystyle 12^{2}=8^{2}+10^{2}-2(8) )(10)cos {C}}.
12
Täitke vajalik korrutamine. Korrutate 2ab{displaystyle 2ab}-ga puuduva nurga koosinuse, mida te veel ei tea. Seega peaks muutuja jääma. Näiteks 122=82+102−160cosâ¡C{displaystyle 12^{2}=8^{2}+10^{2}-160cos {C}}.
13
Leidke c{displaystyle c} ruut. Pidage meeles, et arvu ruudustamiseks korrutage arv iseendaga. Näiteks 144=82+102−160cosâ¡C{displaystyle 144=8^{2}+10^{2}-160cos {C} }
14
Lisage a{displaystyle a} ja b{displaystyle b} ruudud. Veenduge, et pange kõik numbrid esmalt ruutudesse ja seejärel lisage need kokku. Näiteks:144=64+100−160cosâ¡C{displaystyle 144=64+100-160cos {C}}144=164−160cosâ¡ C{displaystyle 144=164-160cos {C}}
15
Eraldage puuduva nurga koosinus. Selleks lahutage võrrandi mõlemast küljest a2{displaystyle a^{2}} ja b2{displaystyle b^{2}} summa. Seejärel jagage võrrandi kumbki pool puuduva nurga koosinuse koefitsiendiga. Näiteks puuduva nurga koosinuse eraldamiseks lahutage võrrandi mõlemast küljest 164, seejärel jagage mõlemad pooled -160:144−164= 164−164−160cosâ¡¡C{displaystyle 144-164=164-164-160cos {C}}−20=−160cosâ¡¡C{displaystyle -20=-160/cos −20−160=−160cosâ¡C−160{displaystyle {frac {-20}{-160}}={frac {-160cos {C}}{-160}}}0,125= cosâ¡C{displaystyle 0,125=cos {C}}
16
Leia pöördkoosinus. See annab teile puuduva nurga mõõtmise. Kalkulaatoris tähistab pöördkoosinusvõtit COS−1{displaystyle COS^{-1}}. Näiteks 0,0125 pöördkoosinus on 82,8192. Niisiis, puuduv nurk, nurk S, on 82,8192 kraadi.
17
Leidke kolmnurga puuduv külje pikkus. Kaks teadaolevat küljepikkust on 20 ja 17 cm pikad. Nende kahe külje vaheline nurk on 68 kraadi. Kuna teate kahte külje pikkust ja nende vahelist nurka, saate kasutada koosinusreeglit. Seadistage valem: c2=a2+b2−2abcosâ¡C{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos {C}}. Puuduv külje pikkus on c {displaystyle c}. Ühendage teised väärtused valemiga:c2=202+172−2(20)(17)cosâ¡68{displaystyle c^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20) (17)cos {68}}. Kasutage toimingute järjekorda, et leida c2{displaystyle c^{2}}:c2=202+172−2(20)(17)cosâ¡68{displaystyle c^ {2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)cos {68}}c2=202+172−2(20)(17)(.3746){displaystyle c ^{2}=20^{2}+17^{2}-2(20)(17)(.3746)}c2=202+172−254.7325{displaystyle c^{2}=20^{2} +17^{2}-254.7325}c2=400+289−254.7325{displaystyle c^{2}=400+289-254.7325}c2=689−254.7325{displaystyle c.7325{displaystyle c. =434.2675{displaystyle c^{2}=434.2675}Võtke võrrandi mõlema poole ruutjuur. See annab teile puuduva külje pikkuse:c2=434.2675{displaystyle {sqrt {c^{2}}}={sqrt {434.2675}}}c=20.8391{displaystyle c=20.8391}Nii, puuduv külg pikkus on 20,8391 cm.
18
Leidke kolmnurgas GHI nurk H. Nurgaga H külgnevad kaks külge on 22 ja 16 cm pikad. Vastasnurga H pikkus on 13 sentimeetrit (5,1 tolli). Kuna teate kõiki kolme külje pikkust, saate kasutada koosinusreeglit. Seadistage valem: c2=a2+b2−2abcosâ¡C{displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos {C}}. Puuduva nurga vastaskülg on c{displaystyle c}. Ühendage kõik väärtused valemisse: 132=222+162−2(22)(16)cosâ¡C{displaystyle 13^{2}=22^{2}+16^{2}-2(22) )(16)cos {C}}. Kasutage avaldise lihtsustamiseks toimingute järjekorda:132=222+162−704cosâ¡C{displaystyle 13^{2}=22^{2}+16^{2 }-704cos {C}}132=484+256−704cosâ¡C{displaystyle 13^{2}=484+256-704cos {C}}169=484+256−704cosâ¡C{¡C displaystyle 169=484+256-704cos {C}}169=740−704cosâ¡C{displaystyle 169=740-704cos {C}}Isoleerige koosinus:169−70âs’704’7040’704 ¡C{displaystyle 169-740=740-740-704cos {C}}−571=−704cosâ¡C{displaystyle -571=-704cos {C}}−571−704 =−704cosâ¡C−704{displaystyle {frac {-571}{-704}}={frac {-704cos {C}}{-704}}}0,8111=cosâ¡C{ displaystyle 0.8111=cos {C}}Leia pöördkoosinus. See annab teile puuduva nurga: 0.8111=cosâ¡C{displaystyle 0.8111=cos {C}}35.7985=COS−1{displaystyle 35.7985=COS^{-1}}. Seega on nurk H umbes 35.795 kraadid.
19
Leidke puuduv raja pikkus. Luite, hari ja rabarada moodustavad kolmnurga. Luiterada on 3 miili pikk. Ridge Trail on 5 miili pikk. Dune Trail ja Ridge Trail kohtuvad nende põhjaotstes 135-kraadise nurga all. Rabarada ühendab radade kahte ülejäänud otsa. Kui pikk on rabarada? Rajad moodustavad kolmnurga ja teil palutakse leida puuduv raja pikkus, mis on nagu kolmnurga külg. Kuna teate ülejäänud kahe raja pikkust ja teate, et need kohtuvad 135-kraadise nurga all, võite kasutada koosinusreeglit. Seadistage valem: c2=a2+b2−2abcosâ¡C{displaystyle c^{2 }=a^{2}+b^{2}-2abcos {C}}. Puuduv külje pikkus (rabarada) on c{displaystyle c}. Ühendage teised väärtused valemiga:c2=32+52−2(3)(5)cosâ¡135{displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3) (5)cos {135}}. Kasutage toimingute järjekorda, et leida c2{displaystyle c^{2}}:c2=32+52−2(3)(5)cosâ¡135{displaystyle c^ {2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)cos {135}}c2=32+52−2(3)(5)(−0.7071){displaystyle c^{2}=3^{2}+5^{2}-2(3)(5)(-0,7071)}c2=32+52âˆ'(−21.2132){displaystyle c^{2}= 3^{2}+5^{2}-(-21.2132)}c2=9+25+21.2132{displaystyle c^{2}=9+25+21.2132}c2=55,2132{displaystyle c^{2} =55.2132}Võtke võrrandi mõlema poole ruutjuur. See annab teile puuduva külje pikkuse:c2=55.2132{displaystyle {sqrt {c^{2}}}={sqrt {55.2132}}}c=7.4306{displaystyle c=7.4306}Seega on rabarada umbes 7,4306 miili pikk.