Tuttav ristkülikukujuline ruudustik on hõlpsasti õpitav süsteem, kuid see pole kõigis olukordades mugav. Mis siis, kui soovite joonistada kodarad rattale või vee liikumist kanalisatsiooni? Nendel juhtudel sobib ümmargune koordinaatsüsteem loomulikumalt. Tegelikult olete polaarkoordinaatide põhiideed juba igapäevaelus kasutanud. Kui otsite näiteks sireeni allikat, vajate kahte teavet: kui kaugel see on ja millisest suunast heli tuleb. Polaarkoordinaatide süsteem kaardistab punktid samamoodi, kirjeldades kaugust r{displaystyle r} fikseeritud punktist ja nurka θ{displaystyle theta } fikseeritud kiirest.
1
Seadke polaartasapind. Tõenäoliselt olete varem graafikutanud punkte Descartes’i koordinaatidega, kasutades (x,y){displaystyle (x,y)} asukohtade märkimiseks ristkülikukujulisel ruudustikul. Polaarkoordinaadid kasutavad selle asemel teist tüüpi graafikut, mis põhinevad ringidel: Graafiku keskpunkt (või ristkülikukujulises ruudustikus “lähtekoht”) on poolus. Saate selle märgistada tähega O. Alustades postist, tõmmake horisontaaljoon paremale. See on polaartelg. Märgistage telg ühikutega, nagu teeksite ristkülikukujulise ruudustiku positiivset x-telge. Kui teil on spetsiaalne polaargraafika paber, sisaldab see palju erineva suurusega ringe, mis on kõik pooluse keskel. Kui kasutate tühja paberit, ei pea te neid ise joonistama.
2
Saage aru polaarkoordinaatidest. Polaartasandil tähistatakse punkti koordinaadiga kujul (r,θ){displaystyle (r,theta )}: esimene muutuja r{displaystyle r} tähistab raadiust. Punkt asub ringil raadiusega r{displaystyle r}, mille keskpunkt on poolus (origin). Teine muutuja θ{displaystyle theta } tähistab nurka. Punkt asub piki joont, mis läbib poolust ja moodustab polaarteljega nurga θ{displaystyle theta }.
3
Vaadake üle ühikuring. Polaarkoordinaatides mõõdetakse nurka tavaliselt kraadide asemel radiaanides. Selles süsteemis katab üks täispööre (360º või täisring) nurga 2Ï€{displaystyle pi } radiaani. (See väärtus on valitud, kuna raadiusega 1 ringi ümbermõõt on 2Ï€{displaystyle pi }.) Ühikuringiga tutvumine muudab polaarkoordinaatidega töötamise palju lihtsamaks. Kui teie õpikus kasutatakse kraade, siis te seda ei tee. pean praegu selle pärast muretsema. Polaarpunkte on võimalik joonistada, kasutades θ{displaystyle theta } kraadiväärtusi.
4
Koostage ring raadiusega r{displaystyle r}. Igal punktil P{displaystyle P} on polaarkoordinaadid kujul (r,θ){displaystyle (r,theta )}. Alustage ringjoone joonistamisest raadiusega r{displaystyle r}, mille keskpunkt on poolus.Pool on graafiku keskpunkt, mille alguspunkt asub ristkülikukujulisel koordinaattasandil. Näiteks punkti (5,Ï) joonistamiseks €2){displaystyle (5,{frac {pi }{2}})}, asetage kompass vardale. Laiendage kompassi pliiatsiots piki polaartelge 5 ühikuni. Ringi joonistamiseks pöörake kompassi.
5
Mõõtke polaartelje nurk θ{displaystyle theta }. Asetage nurgamõõtja nii, et selle keskpunkt oleks postil ja serv kulgeks mööda polaartelge. Mõõtke nurk θ{displaystyle theta } sellelt teljest. Kui nurk on radiaanides ja nurgamõõtja näitab ainult kraade, saate ühikud teisendada või abi saamiseks pöörduda ühikuringi poole. Punkti (5,Ï€2) {displaystyle (5,{frac {pi } {2}})}, näitab ühikuring, et Ï€2{displaystyle {frac {pi }{2}}} on ¼ ümber ringi, mis võrdub polaarteljest 90 kraadiga. Alati mõõta positiivseid nurki telje suhtes vastupäeva. Mõõtke negatiivsed nurgad teljest päripäeva.
6
Joonistage r{displaystyle r} märgi põhjal joon. Järgmine samm on joone tõmbamine piki mõõdetud nurka. Enne seda peate siiski teadma, millisel viisil piir tõmmata. Vaadake tagasi polaarkoordinaate (r,θ){displaystyle (r,theta )}, et teada saada: kui r{displaystyle r} on positiivne, tõmmake joon “edasi”, poolusest otse läbi nurga äsja tehtud märgistus.Kui r{displaystyle r} on negatiivne, tõmmake joon “tagasi”: nurgamärgistusest tagasi läbi pooluse, et lõikuda vastasküljel oleva ringiga.Ärge laske end segadusse ajada ristkülikukujulistest koordinaatidest: see ei vasta positiivsetele või negatiivsetele väärtustele x- või y-teljel.
7
Märgistage sirge ja ringi kokkupuutepunkt. See on punkt (r,θ){displaystyle (r,theta )}. Punkt (5,Ï€2){displaystyle (5,{frac {pi }{2}})} on asub ringil raadiusega 5, mille keskpunkt on poolus, ¼ teest mööda ringi ümbermõõtu polaarteljest vastupäeva. (See punkt on võrdne (0, 5) ristkülikukujulistes koordinaatides.)
8
Koostage ring raadiusega r=4{displaystyle r=4}. Kasutage selle keskpunktina posti.
9
Mõõtke nurk −π3{displaystyle {frac {-pi }{3}}} radiaani. Mõõtke seda nurka polaarteljest (võrdub positiivse x-teljega). Kuna nurk −π3{displaystyle {frac {-pi }{3}}} on negatiivne, mõõtke seda nurka päripäeva.
10
Selle nurga all tõmmake joon. Alusta masti juurest (päritolu). Kuna raadius on positiivne, liikuge poolusest edasi läbi mõõdetud nurga. Punkt, kus sirge lõikub ringiga, on (4,−π3){displaystyle (4,{frac {-pi }{3}})}.
11
Koostage ring raadiusega r=2{displaystyle r=2}. Kasutage selle keskpunktina posti. Kuigi raadius on tegelikult -2, pole märk selle sammu jaoks oluline.
12
Mõõtke nurk 3Ï€2{displaystyle {frac {3pi }{2}}} radiaani. Kuna nurk 3Ï€2{displaystyle {frac {3pi }{2}}} on positiivne, peate liikuma polaarteljest vastupäeva.
13
Ehitage selle nurga vastas joon. Kuna raadius −2{displaystyle -2} on negatiivne, peate minema poolusest antud nurga vastassuunas. Punkt, kus sirge lõikub ringiga, on (−2,3Ï€2){displaystyle (-2,{frac {3pi }{2}})}.
14
Vaatleme Descartes’i tasapinna punkti P(2,1){displaystyle P(2,1)}. Alustades lähtepunktist, tõmmake piki positiivset x-telge 2 ühiku pikkune sirglõik. Joonistage sellest punktist 1 ühiku võrra teine sirglõik positiivses y suunas. Olete nüüd punktis (2, 1), seega märgi see punkt P.
15
Leidke kaugus lähtepunkti O{displaystyle O} ja P{displaystyle P} vahel. Tõmmake joon O ja P vahele. Selle joone pikkus on polaarkoordinaatides r{displaystyle r}. See on ka täisnurkse kolmnurga hüpotenuus, nii et saate hüpotenuusi pikkuse leida geomeetria abil. Näiteks:Selle täisnurkse kolmnurga jalgade väärtused on 2 ja 1. Arvutage Pythagorase teoreemiga, et hüpotenuusi pikkus on 22+12=4+1=5≈2.236{displaystyle {sqrt {2^{ 2}+1^{2}}}={sqrt {4+1}}={sqrt {5}}umbes 2,236}. Üldvalem r{displaystyle r} leidmiseks Descartes’i koordinaatidest on r= x2+y2{displaystyle r={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}, kus x{displaystyle x} on Descartes’i x-koordinaat ja y{displaystyle y} Descartes’i y – koordinaat.
16
Leidke nurk OP{displaystyle OP} ja positiivse x-telje vahel. Kasutage selle väärtuse leidmiseks trigonomeetriat:tanâ¡(θ)=oppositeadjacent=12{displaystyle tan(theta )={frac {opposite}{adjacent}}={frac {1}{2}}} tan−1â¡(12)=θ=26,56∘{displaystyle tan ^{-1}({frac {1}{2}})=theta =26,56^{circ }}Üldine valem θ{displaystyle theta } leidmiseks on θ=tan−1â¡(yx){displaystyle theta =tan ^{-1}({frac {y}{x}})}, kus y{displaystyle y} on Descartes’i y-koordinaat ja x{displaystyle x} Descartes’i x-koordinaat.
17
Kirjutage polaarkoordinaadid. Teil on nüüd väärtused r{displaystyle r} ja θ{displaystyle theta }. Ristkülikukujulised koordinaadid (2, 1) teisendatakse ligikaudseteks polaarkoordinaatideks (2,24, 26,6º) või täpseteks koordinaatideks (5,tan−1â¡¡(12)){displaystyle ({sqrt {5}}, tan ^{-1}({frac {1}{2}}))}.