Maatriksvõrrand Ax=b{displaystyle Amathbf {x} =mathbf {b} } hõlmab maatriksit, mis toimib vektorile ja loob teise vektori. Üldiselt on viis, kuidas A{displaystyle A} toimib x{displaystyle mathbf {x} }-le, keeruline, kuid on teatud juhtumeid, kus tegevus kaardistatakse sama vektoriga, mis on korrutatud skalaarteguriga. Omaväärtustel ja omavektoritel on tohutuid rakendusi füüsikateadustes, eriti kvantmehaanikas, muu hulgas.
1
Mõista määrajaid. Maatriksi detA=0{displaystyle det A=0} determinant, kui A{displaystyle A} on mittepööratav. Kui see juhtub, muutub A{displaystyle A} nullruum mittetriviaalseks – teisisõnu on nullist erinevad vektorid, mis rahuldavad homogeenset võrrandit Ax=0.{displaystyle Amathbf {x} =0. }
2
Kirjutage välja omaväärtuse võrrand. Nagu sissejuhatuses mainitud, on A{displaystyle A} toiming punktis x{displaystyle mathbf {x} } lihtne ja tulemus erineb ainult korduva konstandi λ, {displaystyle lambda ,} võrra, mida nimetatakse omaväärtus. Vektoreid, mis on seotud selle omaväärtusega, nimetatakse omavektoriteks.Ax=λx{displaystyle Amathbf {x} =lambda mathbf {x} }Võime seada võrrandi nulliks ja saada homogeense võrrandi. Allpool on I{displaystyle I} identiteedimaatriks.(A−λI)x=0{displaystyle (A-lambda I)mathbf {x} =0}
3
Seadke üles karakteristlik võrrand. Et (A−λI)x=0{displaystyle (A-lambda I)mathbf {x} =0} saaks mittetriviaalseid lahendusi, tuleb A−λI{displaystyle’i nullruum A-lambda I} peab samuti olema mittetriviaalne. See võib juhtuda ainult siis, kui det(A−λI)=0.{displaystyle det(A-lambda I)=0.} See on iseloomulik võrrand.
4
Hankige iseloomulik polünoom. det(A−λI){displaystyle det(A-lambda I)} annab n×n{displaystyle ntimes n} maatriksi jaoks polünoomi astmega n{displaystyle n}. Võtke arvesse maatriksit A =(1432).{displaystyle A={begin{pmatrix}1&4\3&2end{pmatrix}}.}|1−λ432−λ|=0(1−λ)(2−Π»)−12=0{displaystyle {begin{aligned}{begin{vmatrix}1-lambda &4\3&2-lambda end{vmatrix}}&=0\(1-lambda ) (2-lambda )-12&=0end{joonitud}}}Pange tähele, et polünoom näib olevat tagurpidi – sulgudes olevad kogused peaksid olema muutujad miinus arv, mitte vastupidi. Seda on lihtne lahendada, liigutades 12 paremale ja korrutades mõlemale poolele (−1)2{displaystyle (-1)^{2}}, et muuta järjestust.(λ−1)( λ−2)=12λ2−3λ−10=0{displaystyle {begin{aligned}(lambda -1)(lambda -2)&=12\lambda ^{2} -3lambda -10&=0end{joondatud}}}
5
Lahenda omaväärtuste iseloomulik polünoom. See on üldiselt keeruline samm omaväärtuste leidmiseks, kuna kvintiliste funktsioonide või kõrgemate polünoomide jaoks puudub üldine lahendus. Siiski on tegemist 2. dimensiooniga maatriksiga, nii et ruut on kergesti lahendatav.(λ−5)(λ+2)=0λ=5,−2{displaystyle {begin{aligned} &(lambda -5)(lambda +2)=0\&lambda =5,-2end{joondatud}}}
6
Asendage omaväärtused ükshaaval omaväärtuse võrrandisse. Asendame kõigepealt λ1=5{displaystyle lambda _{1}=5}.(A−5I)x=(−443−3){displaystyle (A-5I)mathbf {x} ={ begin{pmatrix}-4&4\3&-3end{pmatrix}}}Saadud maatriks on ilmselgelt lineaarselt sõltuv. Oleme siin õigel teel.
7
Rea-vähendage saadud maatriksit. Suuremate maatriksite puhul ei pruugi olla nii ilmne, et maatriks on lineaarselt sõltuv ja seetõttu peame rea-redutseerima. Siin saame aga kohe teha reaoperatsiooni R2→4R2+3R1{displaystyle R_{2}to 4R_{2}+3R_{1}}, et saada 0-de rida.(−4400){ displaystyle {begin{pmatrix}-4&4\0&0end{pmatrix}}}Ülaltoodud maatriks ütleb, et −4×1+4×2=0.{displaystyle -4x_{1}+4x_{2}=0.} Lihtsusta ja parameetrid ümber x2=t,{displaystyle x_{2}=t,}, kuna see on vaba muutuja.
8
Hankige omaruumi alus. Eelmine samm on viinud meid A−5I{displaystyle A-5I} nullruumi aluse juurde – teisisõnu A{displaystyle A} omaruumi omaväärtusega 5.×1=(11){displaystyle mathbf {x_{1}} ={begin{pmatrix}1\1end{pmatrix}}}Sammide 6 kuni 8 sooritamine funktsiooniga λ2=−2{displaystyle lambda _{2}=- 2} annab järgmise omaväärtusega seotud omavektori -2.×2=(−43){displaystyle mathbf {x_{2}} ={begin{pmatrix}-4\3end{pmatrix}}} Need on omavektorid, mis on seotud nende vastavate omaväärtustega. Kogu A omaruumi {displaystyle A,} alusel kirjutame {(11),(−43)}.{displaystyle left{{begin{pmatrix}1\1end{ pmatrix}},{begin{pmatrix}-4\3end{pmatrix}}right}.}