Kuidas lisada või lahutada vektoreid

Paljud tavalised füüsikalised suurused on sageli vektorid või skalaarid. Vektorid on sarnased nooltega ja koosnevad positiivsest suurusest (pikkusest) ja mis kõige tähtsam – suunast. teisest küljest on skalaarid lihtsalt arvväärtused, mis mõnikord võivad olla negatiivsed. Pange tähele, et kuigi vektorite suurused on positiivsed või võib-olla nullid, võivad vektorite komponendid loomulikult olla negatiivsed, näidates, et vektor on suunatud vastupidiselt koordinaadile või võrdlussuunale. Vektorite näited: jõud, kiirus, kiirendus, nihe, kaal, magnetväli jne. skalaaridest: mass, temperatuur, kiirus, kaugus, energia, pinge, elektrilaeng, rõhk vedelikus jne. Kuigi skalaarid saab lisada otse nagu numbrid (nt 5 kJ tööd pluss 6 kJ võrdub 11 kJ; või 9 volti pluss miinus 3 volt annab 6 volti: +9v pluss -3v annab +6v ), vektoreid on veidi keerulisem liita või lahutada, kuigi kollineaarsed vektorid on lihtsad ja käituvad nagu arvude liitmine, mis võivad olla negatiivsed. Vaadake allpool mitmeid viise, kuidas vektori liitmise ja lahutamisega toime tulla.

1
Väljendage vektorit komponentidena mõnes koordinaatsüsteemis, tavaliselt x, y ja võib-olla ka z tavalises kahe- või kolmemõõtmelises ruumis (mõnedes matemaatilistes olukordades on võimalik ka suurem mõõtmelisus). Neid komponente väljendatakse tavaliselt tähistusega, mis on sarnane koordinaatsüsteemi punktide kirjeldamiseks kasutatava tähistusega (nt jne). Kui need tükid on teada, on vektorite liitmine või lahutamine lihtsalt x-, y- ja z-komponentide liitmine või lahutamine. Pange tähele, et vektorid võivad olla 1-, 2- või 3-mõõtmelised. Seega võib vektoritel olla x-komponent, x- ja y-komponent või x-, y- ja z-komponent. Oletame, et meil on kaks kolmemõõtmelist vektorit, vektor A ja vektor B. Võime need vektorid komponentideks kirjutada järgmiselt. A = ja B = , kasutades vastavalt x y z komponente.

2
Kahe vektori lisamiseks lisame lihtsalt nende komponendid. Teisisõnu, lisage esimese vektori x-komponent teise vektori x-komponendile ja nii edasi y ja z jaoks. Algsete vektorite komponentide x, y ja z lisamisel saad vastused uue vektori x-, y- ja z-komponendid. Üldiselt on A+B = . Liidame kaks vektorit A ja B. Näide: A = <5, 9, -10> ja B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2> või <22, 6, -12>.

3
Kahe vektori lahutamiseks lahutage nende komponendid. Pange tähele, et ühe vektori teisest A-B lahutamisest võib mõelda selle teise A+(-B) “vastupidise” liitmisena. Üldiselt A-B = Lahutame kaks vektorit A ja B. A = <18, 5, 3> ja B = <10, 9, -10>. A – B = <18-10, 5-9, 3-(-10)> või <8, -4, 13>.

4
Esitage vektoreid visuaalselt, joonistades need pea ja sabaga. Kuna vektoritel on suurus ja suund, võrreldakse neid saba, pea ja pikkusega nooltega. Vektoritel võib öelda, et neil on “alguspunkt” ja “lõpp-punkt”. Noole “terav punkt” on vektori pea ja noole “alus” on saba. Vektori mõõtkavas joonise tegemisel tuleb jälgida, et kõik nurgad täpselt mõõta ja joonistada. Valesti joonistatud nurgad toovad kaasa kehvad vastused.

5
Kahe vektori lisamiseks tõmmake teine ​​vektor B nii, et selle saba kohtuks esimese A peaga. Seda nimetatakse teie vektorite ühendamiseks “peast sabasse”. Kui lisate ainult kaks vektorit, on see kõik, mida peate tegema, enne kui leiate tulemuseks oleva vektori A+B. Vektori B võib olla vaja libistada asendisse ilma selle orientatsiooni muutmata, mida nimetatakse paralleeltranspordiks. Pange tähele, et vektorite ühendamise järjekord ei ole oluline. Vektor A + vektor B = vektor B + vektor A

6
Lahutamiseks lisage vektori “negatiivne”. Vektorite visuaalne lahutamine on üsna lihtne. Lihtsalt pöörake vektori suunda, kuid jätke selle suurusjärk samaks ja lisage see oma vektori peast sabasse nagu tavaliselt. Teisisõnu, vektori lahutamiseks keerake vektorit 180o ümber ja lisage see.

7
Kui liidate või lahutate rohkem kui kaks vektorit, ühendage kõik teised vektorid järjestikku. Tegelikult pole vektorite ühendamise järjekord oluline. Seda meetodit saab kasutada mis tahes arvu vektorite jaoks.

8
Tulemuse saamiseks: Joonistage uus vektor esimese vektori sabast kuni viimase peani. Olenemata sellest, kas liidate/lahutate kahte või saja vektorit, on vektor, mis ulatub algsest alguspunktist (teie esimese vektori sabast) lõpliku lisatud vektori lõpp-punktini (teie viimase vektori pea), resultantvektor või kõigi teie vektorite summa. Pange tähele, et see vektor on identne vektoriga, mis saadi kõigi vektorite komponendid x, y ja võib-olla z eraldi liites. Kui joonistasite kõik vektorid mõõtkavasse, mõõtes kõiki nurki täpselt, saate leida resultaadi suuruse vektorit, mõõtes selle pikkust. Suuna leidmiseks saate mõõta ka nurka, mille resultant teeb määratud vektori või horisontaalse/vertikaalse vms abil. Kui te ei joonistanud kõiki vektoreid mõõtkavasse, peate tõenäoliselt arvutama resultandi suuruse trigonomeetria abil. . Siin võivad abiks olla siinusreeglid ja koosinusreeglid. Kui liidate kokku rohkem kui kaks vektorit, on kasulik kõigepealt lisada kaks, seejärel lisada nende resultant kolmanda vektoriga jne. Lisateabe saamiseks vaadake järgmist jaotist.

9
Esitage oma resultantvektorit selle suuruse ja suuna kaudu. Vektorid määratakse nende pikkuse ja suuna järgi. Nagu eespool märgitud, eeldades, et joonistasite oma vektorid täpselt, on teie uue vektori suurus selle pikkus ja selle suund on selle nurk vertikaali, horisontaalse jne suhtes. Kasutage oma liit- või lahutatud vektorite ühikuid, et valida saadud vektori ühikud. Näiteks kui meie lisatud vektorid esindasid kiirusi ühikutes ms-1, võime oma resultatiivse vektori määratleda kui “kiirust x ms-1 yo horisontaaltasapinna suhtes”.

10
Kasutage vektori komponentide leidmiseks trigonomeetriat. Vektori komponentide leidmiseks on tavaliselt vaja teada selle suurust ja suunda horisontaalse või vertikaali suhtes ning omada tööalaseid teadmisi trigonomeetriast. Esmalt 2-D vektori võtmine: seadke või kujutage oma vektorit ette täisnurkse kolmnurga hüpotenuusina, mille kaks teist külge on paralleelsed x- ja y-telgedega. Neid kahte külge võib pidada pea-saba komponendivektoriteks, mis lisavad teie algse vektori. Kahe külje pikkused on võrdsed teie vektori x- ja y-komponentide suurustega ning neid saab arvutada trigonomeetria abil. Kui x on vektori suurus, on vektori nurgaga (horisontaalse, vertikaalse jne suhtes) külgnev külg xcos(θ), samas kui vastaskülg on xsin(θ). Samuti on oluline Pange tähele oma komponentide suunda. Kui komponent osutab ühe teie telje negatiivses suunas, antakse sellele negatiivne märk. Näiteks 2-D tasapinnal, kui komponent osutab vasakule või alla, antakse sellele negatiivne märk. Näiteks oletame, et meil on vektor, mille suurus on 3 ja mille suund on 135o. horisontaalne. Selle teabe abil saame kindlaks teha, et selle x-komponent on 3cos(135) = -2,12 ja y-komponent on 3sin(135) = 2,12

11
Kahe või enama vektori vastava komponendi liitmine või lahutamine. Kui olete leidnud kõigi oma vektorite komponendid, lisage lihtsalt nende suurusjärgud, et leida saadud vektori komponendid. Esmalt lisage kõik horisontaalsete komponentide suurused (need, mis on paralleelsed x-teljega). Eraldi lisage kõik vertikaalsete komponentide suurused (need, mis on paralleelsed y-teljega). Kui komponendil on negatiivne märk (-), lahutatakse selle suurus, mitte ei lisata. Saadud vastused on teie resultantvektori komponendid. Oletame näiteks, et meie eelmise etapi vektor <-2.12, 2.12> lisatakse vektorile <5.78, -9>. Sel juhul oleks meie resultantvektor <-2.12+5.78, 2.12-9> või <3.66, -6.88>.

12
Arvutage Pythagorase teoreemi abil resultantvektori suurus. Pythagorase teoreem c2=a2+b2 lahendab täisnurksete kolmnurkade küljepikkused. Kuna meie resultantvektori ja selle komponentide moodustatud kolmnurk on täisnurkne kolmnurk, saame selle abil leida oma vektori pikkuse ja seega ka suuruse. Kui lahendatava resultantvektori suurus on c, määrake selle x-komponendi suuruseks a ja y-komponentide suuruseks b. Lahendage algebraga. Selle vektori suuruse leidmiseks, mille komponendid leidsime eelmises etapis <3,66, -6,88>, kasutame Pythagorase teoreemi. Lahendage järgmiselt: c2=(3.66)2+(-6.88)2c2=13.40+47.33c=√60.73 = 7.79

13
Arvutage puutujafunktsiooniga resultandi suund. Lõpuks leidke resultantvektori suund. Kasutage valemit θ=tan-1(b/a), kus θ on nurk, mille resultant moodustab x-telje või horisontaaliga, b on y-komponendi suurus ja a on x-komponent. Näidisvektori suuna leidmiseks kasutame θ=tan-1(b/a).θ=tan-1(-6,88/3,66)θ=tan-1(-1,88)θ =-61,99o

14
Esitage oma resultantvektorit selle suuruse ja suuna kaudu. Nagu eespool märgitud, määratakse vektorid nende suuruse ja suuna järgi. Kasutage kindlasti oma vektori suuruse jaoks õigeid ühikuid. Näiteks kui meie näitevektor kujutas jõudu (njuutonites), võime selle kirjutada kui “jõud 7,79 N kõrgusel -61,99o horisontaalsuunas”.