Kaugus, millele sageli omistatakse muutuja d, on kahe punkti vahelise sirge ruumi mõõt. Kaugus võib viidata kahe paigalseisva punkti vahelisele ruumile (näiteks inimese kõrgus on kaugus tema jalgade alt pea ülaosast) või võib viidata ruumile liikuva punkti hetkeasendi vahel. objekt ja selle lähtekoht. Enamikku vahemaa probleeme saab lahendada võrranditega d = savg × t, kus d on vahemaa, savg on keskmine kiirus ja t on aeg, või kasutades d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2) , kus (x1, y1) ja (x2, y2) on kahe punkti x ja y koordinaadid.
1
Leidke keskmise kiiruse ja aja väärtused. Kui proovite leida vahemaad, mille liikuv objekt on läbinud, on selle arvutuse tegemiseks olulised kaks teavet: selle kiirus (või kiiruse suurus) ja aeg, mil see on liikunud. Selle teabe abil on võimalik leida vahemaa, mille objekt on läbinud valemiga d = savg × t. Kaugusvalemi kasutamise protsessi paremaks mõistmiseks lahendame selles jaotises näiteülesande. Oletame, et sõidame teel 120 miili tunnis (umbes 193 km tunnis) ja tahame teada, kui kaugele poole tunniga sõidame. Kasutades keskmise kiiruse väärtusena 120 mph ja aja väärtusena 0,5 tundi, lahendame selle probleemi järgmises etapis.
2
Korrutage keskmine kiirus ajaga. Kui teate liikuva objekti keskmist kiirust ja selle reisimise aega, on selle läbitud vahemaa leidmine suhteliselt lihtne. Vastuse leidmiseks korrutage need kaks suurust lihtsalt. Pange tähele, et kui teie keskmise kiiruse väärtuses kasutatud ajaühikud erinevad teie ajaväärtuses kasutatavatest ajaühikutest, peate ühe või teise teisendama, et need oleksid ühilduvad. Näiteks kui meil on keskmise kiiruse väärtus, mida mõõdetakse kilomeetrites tunnis, ja ajaväärtus, mida mõõdetakse minutites, peate selle tundideks teisendamiseks jagama ajaväärtuse 60-ga. Lahendame oma näiteülesande. 120 miili tunnis – 0,5 tundi = 60 miili. Pange tähele, et ajaväärtuse (tunnid) ühikud tühistatakse koos keskmise kiiruse (tunnid) nimetaja ühikutega, et jätta ainult vahemaa ühikud (miilid).
3
Teiste muutujate lahendamiseks manipuleerige võrrandiga. Põhikaugusvõrrandi (d = savg × t) lihtsus muudab võrrandi kasutamise kauguse kõrval ka muutujate väärtuste leidmiseks üsna lihtsaks. Lihtsalt eraldage muutuja, mida soovite algebra põhireeglite järgi lahendada, seejärel sisestage oma kahe teise muutuja väärtused, et leida kolmanda väärtuse. Teisisõnu, oma objekti keskmise kiiruse leidmiseks kasutage võrrandit savg = d/t ja objekti reisimise aja leidmiseks kasutage võrrandit t = d/savg. Oletame näiteks, et teame, et auto on sõitnud 60 miili 50 minutiga, kuid meil pole keskmise kiiruse väärtust reisimise ajal. Sel juhul võime isoleerida savg muutuja põhikaugusvõrrandis, et saada savg = d/t, seejärel lihtsalt jagada 60 miili / 50 minutit, et saada vastus 1,2 miili minutis. Pange tähele, et meie näites on meie vastus kiirusel on haruldased ühikud (miili/minutis). Et saada vastus tavalisemas vormis miili/tunnis, korrutage see 60 minutiga tunnis, et saada 72 miili/tunnis.
4
Pange tähele, et muutuja “savg” vahemaa valemis viitab keskmisele kiirusele. Oluline on mõista, et põhiline kaugusvalem pakub objekti liikumisest lihtsustatud vaadet. Vahemaa valem eeldab, et liikuval objektil on konstantne kiirus, teisisõnu see eeldab, et liikuv objekt liigub ühe muutumatu kiirusega. Abstraktsete matemaatikaprobleemide puhul, nagu need, millega võite kokku puutuda akadeemilises keskkonnas, on mõnikord siiski võimalik seda eeldust kasutades modelleerida objekti liikumist. Reaalses elus ei kajasta see mudel aga sageli täpselt liikuvate objektide liikumist, mis võib tegelikkuses aja jooksul kiirendada, aeglustada, seiskuda ja tagurpidi pöörata. Näiteks jõudsime ülaltoodud näiteprobleemi puhul järeldusele. et 60 miili läbimiseks 50 minutiga peaksime sõitma kiirusega 72 miili tunnis. See kehtib aga ainult siis, kui kogu reisi jooksul liigutakse ühe kiirusega. Näiteks kui poole teekonnast sõidame kiirusega 80 miili/h ja teisel poolel 64 miili tunnis, siis sõidame ikkagi 60 miili 50 minutiga 72 miili tunnis = 60 miili/50 min =Â ???? ?Arvutuspõhised tuletisi kasutavad lahendused on reaalsetes olukordades objekti kiiruse defineerimiseks sageli parem valik kui kaugusvalem, sest kiiruse muutumine on tõenäoline.
5
Leia kahe punkti ruumilised koordinaadid. Mis siis, kui liikuva objekti läbitud vahemaa leidmise asemel peate leidma kahe paigalseisva objekti vahelise kauguse? Sellistel juhtudel pole ülalkirjeldatud kiiruspõhisest vahemaavalemist kasu. Õnneks saab kahe punkti vahelise sirgjoonelise kauguse hõlpsaks leidmiseks kasutada eraldi kaugusvalemit. Selle valemi kasutamiseks peate siiski teadma oma kahe punkti koordinaate. Kui teil on tegemist ühemõõtmelise kaugusega (näiteks arvureal), on teie koordinaadid kaks numbrit, x1 ja x2. Kui tegelete kahemõõtmelise kaugusega, vajate väärtusi kahe (x,y) punkti (x1,y1) ja (x2,y2) jaoks. Lõpuks vajate kolme mõõtme jaoks väärtusi (x1,y1,z1) ja (x2,y2,z2).
6
Leidke 1-D kaugus, lahutades kahe punkti koordinaatide väärtuse. Kahe punkti vahelise ühemõõtmelise kauguse arvutamine, kui teate, et kummagi punkti väärtus on tsink. Kasutage lihtsalt valemit d = |x2 – x1|. Selles valemis lahutate x2-st x1, seejärel võtke x1 ja x2 vahelise kauguse leidmiseks vastuse absoluutväärtus. Tavaliselt soovite ühemõõtmelise kauguse valemit kasutada siis, kui teie kaks punkti asuvad arvteljel või -teljel. Pange tähele, et see valem kasutab absoluutväärtusi (sümbolid “| |”. Absoluutväärtused tähendavad lihtsalt seda, et sümbolites sisalduvad terminid muutuvad positiivseks, kui need on negatiivsed. Oletame näiteks, et oleme peatunud tee ääres täiesti sirgel maanteelõigul. Kui meist 5 miili kaugusel on väike linn ja meist 1 miili kaugusel linn, siis kui kaugel on need kaks linna üksteisest? Kui seame linna 1 väärtuseks x1 = 5 ja linnaks 2 x1 = -1, leiame d, kahe linna vahelise kauguse järgmiselt:d = |x2 – x1|= |-1 – 5|= |- 6| = 6 miili.
7
Leia 2-D kaugus Pythagorase teoreemi abil. Kahe punkti vahelise kauguse leidmine kahemõõtmelises ruumis on keerulisem kui ühes mõõtmes, kuid see pole keeruline. Kasutage lihtsalt valemit d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2). Selles valemis lahutate kaks x-koordinaati, lahutate tulemuse ruudu, lahutate y-koordinaadid, ruudustage tulemuse, seejärel liidate kaks vahetulemust kokku ja võtke ruutjuur, et leida kahe punkti vaheline kaugus. See valem töötab kahemõõtmelisel tasapinnal, näiteks põhilistel x/y graafikutel. 2-D kauguse valem kasutab ära Pythagorase teoreemi, mis määrab, et täisnurkse kolmnurga hüpotenuus on võrdne ruutude ruutjuurega. Teisest kahest küljest. Näiteks oletame, et x-y tasapinnal on kaks punkti: (3, -10) ja (11, 7), mis tähistavad vastavalt ringi keskpunkti ja ringi punkti. Nende kahe punkti vahelise sirgjoonelise kauguse leidmiseks saame lahendada järgmiselt: d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)d = √((11 – 3)2 + (7 – -10)2)d = √(64 + 289)d = √(353) = 18,79
8
Leidke 3-D kaugus, muutes 2-D valemit. Kolmes mõõtmes on punktidel lisaks x- ja y-koordinaatidele ka z-koordinaat. Kahe punkti vahelise kauguse leidmiseks kolmemõõtmelises ruumis kasutage d = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2). See on ülalkirjeldatud kahemõõtmelise kaugusvalemi muudetud vorm, mis võtab arvesse z-koordinaate. Kahe z-koordinaadi lahutamine, nende ruudus viimine ja ülejäänud valemiga jätkamine, nagu ülaltoodud, tagab, et teie lõplik vastus esindab teie kahe punkti vahelist kolmemõõtmelist kaugust. Oletame näiteks, et me oleme astronaut, kes hõljub kosmoses selle lähedal. kaks asteroidi. Üks on meist umbes 8 kilomeetrit ees, meist 2 km paremal ja 5 miili allpool, teine aga 3 km tagapool, 3 km vasakul ja 4 km eespool. Kui kujutame nende asteroidide asukohti koordinaatidega (8,2,-5) ja (-3,-3,4), saame nende kahe vahelise kauguse leida järgmiselt:d = √((-3 – 8 )2 + (-3 – 2)2 + (4 – -5)2)d = √((-11)2 + (-5)2 + (9)2)d = √(121 + 25 + 81) d = √(227) = 15,07 km