Eukleidiline geomeetria on seotud kujundite, joonte ja nurkade ning nende vastastikuse mõjuga. Geomeetria keele õppimiseks tuleb alguses palju tööd teha. Kui olete õppinud põhipostulaadid ning kõigi kujundite ja joonte omadused, võite hakata seda teavet kasutama geomeetriaprobleemide lahendamiseks. Kahjuks võtab geomeetria aega, aga kui pingutada, siis saab sellest aru.
1
Õppige postulaat 1 – sirglõigu saab moodustada mis tahes kahe punkti ühendamisel. Kui teil on kaks punkti, A ja B, saate joonistada neid kahte punkti ühendava joonelõigu. Kahe punkti ühendamisel saab teha ainult ühe joonelõigu.
2
Teadke postulaadi 2 – iga joonelõiku saab pikendada lõpmatuseni mõlemas suunas. Kui olete kahe punkti vahele lõigu loonud, saate selle lõigu jooneks laiendada. Seda saate teha, pikendades segmendi mõlemat otsa lõpmatult samas suunas.
3
Arusaadav postulaat 3- Arvestades mis tahes pikkust ja mis tahes punkti, saab joonestada ringi, mille keskpunkt on üks punkt ja raadius on pikkus. Teisel viisil öeldes saab ringi konstrueerida mis tahes lõigust. See postulaat kehtib olenemata joonelõigu pikkusest.
4
Tuvastage postulaat 4 – kõik täisnurgad on identsed. Täisnurk on 90°. Iga täisnurk on ühtlane või võrdne. Kui nurk ei ole võrdne 90°, siis see ei ole täisnurk.
5
Defineeri postulaat 5- Arvestades sirge ja punktiga, saab läbi punkti, mis on paralleelne esimese sirgega, tõmmata ainult ühe sirge. Teine viis selle postulaadi esitamiseks on öelda, et kui kaks sirget lõikuvad kolmanda sirgega nii, et ühe külje sisenurkade summa on väiksem kui kaks täisnurka, siis need kaks sirget lõpuks lõikuvad. Need kaks sirget ei ole üksteisega paralleelsed. Seda viimast postulaati ei saa teoreemina tõestada. Mitte-eukleidilises geomeetrias ei pea see “paralleel” postulaat paika.
6
Teadke joonte omadusi. Joon ulatub lõpmatult mõlemas suunas ja selle otstes tähistatakse seda tähistavate nooltega. Joonelõik on piiratud ja eksisteerib ainult kahe punkti vahel. Kiir on sirge ja lõigu hübriid: see ulatub määratud punktist lõpmatult ühes suunas.Ühe sirge mõõde on alati 180°.Kaks sirget on paralleelsed, kui neil on sama kalle ja nad ei ristu kunagi.Perpendikulaarne jooned on kaks joont, mis ühinevad ja moodustavad 90° nurga. Lõikuvad sirged on mis tahes kaks sirget, mis ristuvad mis tahes punktis. Paralleelsed sirged ei saa kunagi ristuda, risti sirged aga küll.
7
Õppige erinevat tüüpi nurki. Nurki on kolme tüüpi: terav, nüri ja paremnurk. Teravnurk on mis tahes nurk, mis on väiksem kui 90°. Nürinurk on lainurk ja seda defineeritakse kui nurka, mis on suurem kui 90°. Täisnurk mõõdab täpselt 90°. Erinevat tüüpi nurkade tuvastamine on geomeetria mõistmise oluline osa. Kaks joont, mis moodustavad täisnurga, on samuti üksteisega risti. Need moodustavad täiusliku nurga. Näete ka sirgnurka, mis on lihtsalt joon. Selle nurga mõõt on 180°. Näiteks: ruudul või ristkülikul on neli 90° nurka, samas kui ringil pole nurki.
8
Määrake kolmnurkade tüübid. Kolmnurga tuvastamiseks on kaks võimalust: selle nurkade suuruse järgi (äge, nüri ja parempoolne) või selle järgi, mitu külge ja nurka on võrdsed (võrdkülgsed, võrdhaarsed ja skaala). Teravkolmnurga kõigi nurkade mõõtmed on väiksemad kui 90°; nüri kolmnurkade üks nurk on suurem kui 90°; ja täisnurksel kolmnurgal on üks 90° nurk. Võrdkülgsetel kolmnurkadel on kolm võrdset külge ja kolm nurka, mis kõik on täpselt 60°. Võrdhaarsetel kolmnurkadel on kaks võrdset külge ja kaks võrdset nurka. Skaalakolmnurkadel pole võrdseid külgi ega võrdseid nurki.
9
Tea, kuidas määrata 2D kujundite perimeetrit ja pindala. Ruudud, ristkülikud, ringid, kolmnurgad jne on kõik kujundid, mille jaoks peate teadma, kuidas arvutada ümbermõõtu ja pindala. Objekti ümbermõõt on objekti kõigi külgede mõõt, samas kui pindala on objekti poolt hõivatud ruumi mõõt. Kõige tavalisemate kujundite ümbermõõdu ja pindala võrrandid on järgmised: Ringjoone ümbermõõtu nimetatakse ümbermõõduks ja see on võrdne 2Ï€r, kus “r” on raadius. Ringjoone pindala on Ï€r2 kus “râ € on raadius.Ristküliku ümbermõõt on 2l + 2w, kus “l†on pikkus ja “w†on laius. Ristküliku pindala on l x w, kus “l†on pikkus ja “wâ” € on laius.Kolmnurga ümbermõõt on a + b + c, kus iga muutuja tähistab kolmnurga ühte külge. Kolmnurga pindala on ½bh, kus “b†on kolmnurga alus ja “h†on vertikaalne kõrgus.
10
Arvutage 3D-objektide pindala ja maht. Nii nagu saate arvutada 2D-objekti ümbermõõtu ja pindala, saate leida ka 3D-objekti kogupindala ja ruumala. Sellistel objektidel nagu kerad, ristkülikukujulised prismad, püramiidid ja silindrid on selleks spetsiaalsed võrrandid. Pindala on objekti iga pinna kogupindala, samas kui ruumala on objekti kogupindala. Sfääri pindala on 4Ï€r2, kus “r” on sfääri raadius .Sfääri ruumala on võrdne (4/3)Ï€r3, kus “r†on kera raadius. Ristkülikukujulise prisma pindala on 2lw + 2lh + 2hw, kus “l†on sfääri raadius. pikkus, “w†on laius ja “h†on kõrgus. Ristkülikukujulise prisma maht on l x w x h, kus “l†on pikkus, “w†on laius ja “h†on kõrgus.
11
Määrake nurgapaarid. Kui joon lõikub kahe teise sirgega, nimetatakse seda ristiks. Nende joonte abil moodustuvad nurgapaarid. Vastavad nurgad on kaks nurka, mis vastavad ristsuunalisele nurkadele. Alternatiivsed sisenurgad on kaks nurka, mis asuvad kahe joone sees, kuid põiki vastaskülgedel. Alternatiivsed välisnurgad on kaks nurka, mis asuvad väljaspool kahte joont, kuid asuvad risti vastaskülgedel. Nurgapaarid on üksteisega võrdsed, kui kaks joont on paralleelsed. On olemas neljas nurgapaar: järjestikused sisenurgad. Need on kaks nurka joonte siseküljel ja põiki samal küljel. Kui kaks joont on paralleelsed, moodustavad järjestikused sisenurgad alati 180°.
12
Defineeri Pythagorase teoreem. Pythagorase teoreem on mugav viis täisnurkse kolmnurga külgede pikkuste määramiseks. See on määratletud kui a2 + b2 = c2, kus “a” ja “b” on kolmnurga pikkus ja kõrgus (sirged) ning “c” on hüpotenuus (nurkjoon). Kui teate mõnda kahte Kolmnurga küljed, saate selle võrrandiga arvutada kolmanda külje.Näiteks: Kui teil on täisnurkne kolmnurk, mille külg on a = 3 ja b = 4, leiate hüpotenuusi:a2 + b2 = c232 + 42 = c29 + 16 = c225 = c2c = √25c = 25; kolmnurga hüpotenuus on 5.
13
Joonista figuurid. Lugege probleem läbi ja visandage selle illustreerimiseks skeem. Märgistage kogu antud teave, sealhulgas kõik nurgad, paralleelsed või risti asetsevad sirged ja ristuvad sirged. Võimalik, et peate kõik teist korda joonistama, kui olete probleemi põhivisandi koostanud. Teisel joonisel saab fikseerida kõige skaala ja veenduda, et kõik nurgad on joonistatud ligikaudu õigesti. Märgistage ka kõik tundmatud. Selgelt joonistatud diagramm on lihtsaim viis probleemi mõistmiseks.
14
Tehke tähelepanekuid etteantude põhjal. Kui teile on antud sirglõik, kuid sellest väljuvad nurgad, siis teate, et kõigi nurkade mõõt peab olema 180°. Kirjutage see teave diagrammile või veeristele. See on hea viis mõelda, mida küsimus küsib. Näiteks: nurk ABC ja nurk DBE moodustavad joone, ABE. Nurk ABC = 120°. Mis on nurga DBE mõõt?Kuna nurkade ABC ja DBE summa peab võrduma 180°, siis nurk DBE = 180° – nurk ABC. Nurk DBE = 180° – 120° = 60°.
15
Rakenda küsimustele vastamiseks põhiteoreeme. On palju üksikuid teoreeme, mis kirjeldavad kolmnurkade, lõike- ja paralleeljoonte ning ringide omadusi, mida saab kasutada ülesande lahendamiseks. Tuvastage ülesandes olevad geomeetrilised kujundid ja leidke sobivad teoreemid. Kasutage vanu tõestusi ja probleeme juhisena, et näha, kas nende vahel on sarnasusi. Siin on mõned üldised geomeetrilised teoreemid, mida vajate: Refleksiivne omadus: Muutuja on võrdne iseendaga. x = x. Liitmispostulaat: Kui võrdsetele muutujatele liidetakse võrdsed muutujad, on kõik summad võrdsed. A + B + C = A + C + B. Lahutamise postulaat: see sarnaneb liitmispostulaadiga, kõigil võrdsetest muutujatest lahutatud muutujatel on võrdsed erinevused. A – B – C = A – C – B. Asenduspostulaat: Kui kaks suurust on võrdsed, võite mis tahes avaldises asendada ühe teisega. Jaotuse postulaat: iga tervik on võrdne selle kõigi osade summa. Sirge ABC = AB + BC.
16
Õppige kolmnurkade kohta kehtivaid teoreeme. Paljudel geomeetria ülesannetel on kolmnurgad ja kolmnurkade omaduste teadmine aitab teil neid lahendada. Kasutage neid teoreeme geomeetriliste tõendite moodustamiseks. Siin on mõned kõige olulisemad kolmnurkade jaoks:CPCTC: kongruentse kolmnurga vastavad osad on kongruentsedSSS: külg-külg-külg: kui ühe kolmnurga kolm külge on kongruentsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on kolmnurgad kongruentsedSAS : külg-nurk-külg: kui kahel kolmnurgal on ühtlane külg-nurk-külg, siis need kaks kolmnurka on ühtsedASA: nurk-külg-nurk: kui kahel kolmnurgal on ühtlane nurk-külgnurk, siis on need kaks kolmnurka kongruentsedAAA : nurk-nurk-nurk: ühtsete nurkadega kolmnurgad on sarnased, kuid mitte tingimata kongruentsed