Lineaarne esimest järku tavaline diferentsiaalvõrrand on järgmise kujuga, kus arvestame, et y=y(x), {displaystyle y=y(x),} ja y{displaystyle y} ning selle tuletis on mõlemad esimene aste.dydx+P(x)y=Q(x){displaystyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}+P(x)y=Q(x)} Selle võrrandi lahendamiseks kasutame integreerivat tegurit e∫P(x)dx.{displaystyle e^{int P(x)mathrm {d} x}.} Toome näite ja näitame, et see integreeriv tegur muudab ülaltoodud võrrandi täpseks, nagu ette nähtud.
1
Lahendage järgmine võrrand. Kuna y{displaystyle y} ja selle tuletise aste on mõlemad 1, on see võrrand linear.dydx+2xy=4sinâ¡x{displaystyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}+{frac {2}{x}}y=4sin x}
2
Leidke integreeriv tegur.e∫P(x)dx=e∫2/xdx=e2lnâ¡|x|=x2{displaystyle {begin{aligned}e^{int P(x)mathrm {d} x}&=e^{int 2/xmathrm {d} x}\&=e^{2ln |x|}\&=x^{2}end{joondatud}}}
3
Kirjutage võrrand ümber Pfaffi kujul ja korrutage integreeriva teguriga. Võime kinnitada, et see on täpne diferentsiaalvõrrand, tehes osatuletised.(2xy−4x2sinâ¡x)dx+x2dy=0{displaystyle (2xy-4x^{2}sin x)mathrm {d} x +x^{2}mathrm {d} y=0}
4
Lahendage see võrrand mis tahes võimalike vahenditega. Kirjutame diferentsiaalvõrrandi lahenduseks f{displaystyle f}.f=∫Qdy=x2y+R(x){displaystyle f=int Qmathrm {d} y=x^{2}y+ R(x)}∂f∂x=P=2xy+dRdx{displaystyle {frac {partial f}{partial x}}=P=2xy+{frac {mathrm {d} R}{ mathrm {d} x}}}R(x)=(4×2−8)cosâ¡x−8xsinâ¡¡x{displaystyle R(x)=(4x^{2}-8)cos x-8x sin x}x2y+(4×2−8)cosâ¡x−8xsinâ¡x=C{displaystyle x^{2}y+(4x^{2}-8)cos x-8xsin x=C}
5
Kirjutage lineaarne diferentsiaalvõrrand ümber Pfaffi kujul.(P(x)y−Q(x))dx+dy=0{displaystyle (P(x)y-Q(x))mathrm {d} x+mathrm {d} y=0}
6
Võtke arvesse integreerivat tegurit μ(x){displaystyle mu (x)}. See integreeriv tegur on selline, et ülaltoodud võrrandi korrutamine sellega muudab võrrandi täpseks. (μP(x)y−μQ(x))dx+μ(x)dy=0{displaystyle (mu P(x)y- mu Q(x))mathrm {d} x+mu (x)mathrm {d} y=0}
7
Esitage täpsuse vajalik ja piisav tingimus. Et olla täpne, peavad diferentsiaalide koefitsiendid vastama Clariaut teoreemile.∂∂y(μP(x)y−μQ(x))=∂μ∂x{displaystyle {frac {partial y}}(mu P(x)y-mu Q(x))={frac {partial mu }{partial x}}}
8
Lihtsustage saadud avaldist. Mõistame, et P(x), {displaystyle P(x),} Q(x), {displaystyle Q(x),} ja μ{displaystyle mu } on kõik ainult x{displaystyle x} funktsioonid .μP(x)=dμdx{displaystyle mu P(x)={frac {mathrm {d} mu }{mathrm {d} x}}}
9
Eraldage muutujad ja integreerige, et lahendada μ{displaystyle mu }.1μdμ=P(x)dxlnâ¡|μ|=∫P(x)dxμ=e∫P(x)dx   Â   ED .){displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{mu }}mathrm {d} mu &=P(x)mathrm {d} x\ln |mu |& =int P(x)mathrm {d} x\mu &=e^{int P(x)mathrm {d} x} ({text{QED.}} )end{joondatud}}}