Arvutuses on konservatiivsetel vektorväljadel mitmeid olulisi omadusi, mis oluliselt lihtsustavad arvutusi, sealhulgas teest sõltumatus, irrotatsioonilisus ja võime modelleerida reaalses elus nähtusi, nagu Newtoni gravitatsioon ja elektrostaatilised väljad. Seetõttu on vektorvälja konservatiivse või mittekonservatiivse kontrollimine kasulik meetod arvutuste tegemisel.
1
Kasutage Clairaut’ teoreemi. See teoreem väidab, et segatud osatuletised pendeldavad, kuna need on pidevad. Teisisõnu ∂∂y∂∂x=∂∂x∂∂y.{displaystyle {}{frac {partial partial y}}{frac {partial }{partial x}}={frac {partial }{partial x}}{frac {partial }{partial y}}.} Pange tähele, et need on teised tuletised.
2
Mõelge funktsioonile. Meie mugavuse huvides paneme sildi P=2xy2−y2+2x{displaystyle P=2xy^{2}-y^{2}+2{x}} ja Q=2x2y−5−2xy.{displaystyle Q=2x ^{2}y-5-2xy.}F=(2xy2−y2+2x)i+(2x2y−5−2xy)j{displaystyle mathbf {F} =(2xy^{2}-y^{2} +2{x})mathbf {i} +(2x^{2}y-5-2xy)mathbf {j} }Kui see funktsioon rahuldab Clairaut’ teoreemi, siis peaksime eeldama, et ∂P∂y=∂ Q∂x.{displaystyle {frac {partial P}{partial y}}={frac {partial Q}{partial x}}.} Need on teised tuletised, sest me lähtume eeldusest et F{displaystyle mathbf {F} } on konservatiivne ja seetõttu F=∇f{displaystyle mathbf {F} =nabla f} – teisisõnu on F{displaystyle mathbf {F} } ise on skalaarpotentsiaali funktsiooni gradient.
3
Arvutage osatuletised.∂P∂y=4xy−2y{displaystyle {frac {partial P}{partial y}}=4xy-2y}∂Q∂x=4xy−2y{displaystyle { frac {partial Q}{partial x}}=4xy-2y}
4
Kontrollige, kas segatud osad liiguvad edasi. Meie näide ilmselt teeb seda. Meie vektorfunktsioon on pidev (hästi käituv), seega on see väli konservatiivne. Enamik valdkondi, millega te tegelete, eriti füüsikas, peavad täitma ainult Clariaut teoreemi, et olla konservatiivne. Kuid puhtas matemaatikas pole see alati nii.
5
Seostage konservatiivsed väljad irrotatsioonilisusega. Konservatiivsed vektorväljad on irrotatsioonilised, mis tähendab, et väljal on kõikjal null curl: ∇×F=0.{displaystyle nabla times mathbf {F} =0.} Kuna gradiendi kõverus on 0, siis me võib seega väljendada konservatiivset välja kui sellist eeldusel, et funktsiooni domeen on lihtsalt ühendatud.∇×∇f=0{displaystyle nabla times nabla f=0}Viimane tingimus toob esile olulise piirangu funktsioonid, mis ei ole hästi käitunud. Kuigi kõik konservatiivsed väljad on irrotatiivsed, pole vastupidine tõsi. Isegi kui funktsioon rahuldab Clairaut’ teoreemi, ei pruugi see ikkagi olla konservatiivne, kui esineb katkestusi või muid ainsuse punkte.
6
Mõelge funktsioonile “vortex” v{displaystyle mathbf {v}}. Ülal on vortex.v=−yi+xj+0kx2+y2{displaystyle mathbf {v} ={frac {-ymathbf {i} +xmathbf {j} +0mathbf visualiseerimine {k} }{x^{2}+y^{2}}}}Meie mugavuse huvides laske P=−yx2+y2{displaystyle P={frac {-y}{x^{2}+ y^{2}}}} ja Q=xx2+y2.{displaystyle Q={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}.}
7
Kontrollige, kas see funktsioon rahuldab Clairaut’ teoreemi. Väärib märkimist, et selles etapis tehtavad arvutused on samaväärsed funktsiooni irrotatsiooni kontrollimisega. Mõlemad meetodid hõlmavad suuruse ∂P∂y−∂Q∂x,{displaystyle {frac {partial P}{partial y}}-{frac {partial Q}{partial x hindamist. }},} või curl’i komponent k{displaystyle mathbf {k} }.∂P∂y=(x2+y2)(−1)+y(2y)(x2+y2)2=y2∠‘x2(x2+y2)2{displaystyle {begin{joonitud}{frac {partial P}{partial y}}&={frac {(x^{2}+y^{2}) (-1)+y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\&={frac {y^{2}-x^{2}} {(x^{2}+y^{2})^{2}}}end{joondatud}}}∂Q∂x=(x2+y2)(1)−x(2x)(x2+ y2)2=y2−x2(x2+y2)2{displaystyle {begin{align}{frac {partial Q}{partial x}}&={frac {(x^{2}+y ^{2})(1)-x(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\&={frac {y^{2}-x^ {2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}end{aligned}}}See arvutus oleks pidanud näitama, et meie keeris on konservatiivne vektorväli. Kuid meie intuitsioon oleks pidanud arvama, et sellel keerisel on nullist erinev lokk, kuna väli näib ringlevat lähtekoha ümber. Selle funktsiooniga on midagi valesti.
8
Kontrollige tee sõltumatust tsükliintegraali abil. Kui see väli on tõepoolest konservatiivne, siis võime öelda, et domeeni mis tahes osa ümbritsev silmusintegraal on 0. Mõelge sellel väljal oleva ühikuringi teele. Seadistage integraal.∮Cvâ‹…dr{displaystyle oint _{C}mathbf {v} cdot mathrm {d} mathbf {r} }Parameetristage muutujad ümber t-ga.{displaystyle t.}x=cosâ¡t{displaystyle x=cos t}y=sinâ¡t{displaystyle y=sin t}Parameetristage diferentsiaalelement ümber t-ga.{displaystyle t.}dr=dxi+dyj=−sinâ¡¡tdti+cosâ¡tdtj{ displaystyle {begin{aligned}mathrm {d} mathbf {r} &=mathrm {d} xmathbf {i} +mathrm {d} ymathbf {j} \&=-sin tmathrm {d} tmathbf {i} +cos tmathrm {d} tmathbf {j} end{aligned}}}Seadistage integraal t järgi.{displaystyle t.} Asendage ja määrake piirid vahemikust 0{displaystyle 0} väärtusele 2Ï€,{displaystyle 2pi ,}, kuna liigume ümber ringi.∫02Ï€(−sinâ¡¡ti+cosâ¡tj)â‹ …(−sinâ¡tdti+cosâ¡tdtj){displaystyle int _{0}^{2pi }(-sin tmathbf {i} +cos tmathbf {j} ) cdo t (-sin tmathrm {d} tmathbf {i} +cos tmathrm {d} tmathbf {j} )}Hinda integraali. Punktkorrutise lihtsustamiseks kasutasime identiteeti sin2â¡t+cos2â¡t=1{displaystyle sin ^{2}t+cos ^{2}t=1}.∫02Ï€dt=2Ï€{ displaystyle int _{0}^{2pi }mathrm {d} t=2pi }Kuna see tsükliintegraal ei anna väärtust 0-ks, ei ole see vektorväli konservatiivne. Põhjus, miks see nii on, on see, et meie domeen pole lihtsalt ühendatud.
9
Kontrollige, kas domeen on lihtsalt ühendatud. Domeeni lihtsalt ühendamiseks peavad kaks punkti saama pideva joonega ühendada. Keeris rahuldab seda, nii et selle domeen on ühendatud. Lihtsa ühenduse saamiseks peab igal domeeni suletud ahelal olema ka domeeni sisemus. Keeris ei suuda seda teha. Kuna funktsioon ei ole algpunktis defineeritud, ei ole suletud tsüklina tehtud ühikringi kogu sisemus funktsiooni domeenis. Teine võimalus seda öelda on see, et suvalise suvalise kujuga suletud ahela domeenis saab topoloogiliselt deformeerunud kuni domeeni punktini. Teisisõnu, me saame pigistada silmuse kuni punktini. Kuna alguspunkt ei ole keerisfunktsiooni domeenis, ei ole domeen lihtsalt ühendatud. Oleme andnud näite funktsioonist, mis rahuldab Clairaut’ teoreemi, kuid ei suutnud ikkagi tee-sõltumatust. Et funktsioon oleks konservatiivne, peab ka selle domeen olema lihtsalt ühendatud.