Ühe muutujaga arvutuse piire on üsna lihtne hinnata. Põhjus, miks see nii on, seisneb selles, et piirile saab läheneda ainult kahest suunast. Ent rohkem kui ühe muutuja funktsioonide puhul seisame silmitsi dilemmaga. Peame kontrollima igast suunast, et piirang oleks olemas. See ei tähenda ainult piki kahte telge või isegi kõiki võimalikke jooni; see tähendab ka mööda kõiki võimalikke kurve. See näib olevat hirmuäratav ülesanne, kuid sellest on väljapääs. See artikkel töötab kahe muutuja funktsioonidega.
1
Proovige esmalt otse asendada. Mõnikord on piirangu arvutamine triviaalne – sarnaselt ühe muutujaga arvutamisele võib väärtuste ühendamine teile kohe vastuse anda. Tavaliselt juhtub see siis, kui piir ei lähene lähtepunktile. Järgneb näide.lim(x,y)â†'(4,5)(x2y3−5xy2)=(4)2(5)3−5(4)(5)2=1500{displaystyle {begin{ joondatud}lim _{(x,y) kuni (4,5)}(x^{2}y^{3}-5xy^{2})&=(4)^{2}(5)^ {3}-5(4)(5)^{2}\&=1500end{aligned}}}Teine põhjus, miks asendamine siin töötab, on see, et ülaltoodud funktsioon on polünoomne ja seetõttu käitub see reaalväärtustes hästi kõigi x{displaystyle x} ja y jaoks.{displaystyle y.}
2
Proovige asendada, et muuta limiit ühemuutujaks, kui asendus on ilmne. Hinda lim(x,y)â†'(0,0)lnâ¡(1−5x2y2)12x2y2.{displaystyle lim _{(x, y)to (0,0)}{frac {ln(1-5x^{2}y^{2})}{12x^{2}y^{2}}}.}Asenda t=x2y2 .{displaystyle t=x^{2}y^{2}.}limt→0lnâ¡(1−5t)12t{displaystyle lim _{tto 0}{frac {ln(1 -5t)}{12t}}}Kasutage L’Hôpitali reeglit, kuna praegu saame 00{displaystyle {frac {0}{0}}}, kui hindame liiga soon.limt→0lnâ¡( 1−5t)12t=limt→011−5t(−5)12=−512.{displaystyle {begin{aligned}lim _{tto 0}{frac {ln(1- 5t)}{12t}}&=lim _{tto 0}{frac {{frac {1}{1-5t}}(-5)}{12}}\&={frac {-5}{12}}.end{joondatud}}}
3
Kui kahtlustate, et piiri pole (DNE), näidake seda kahest erinevast suunast lähenedes. Kuni piirmäär DNE või erineb nendest kahest suunast, olete lõpetanud ja üldfunktsiooni DNE piirang. Hinda lim(x,y)â†'(0,0)x2−y2x2+y2.{ kuvastiil lim _{(x,y)to (0,0)}{frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}.} Lähenege mõlemalt küljelt vertikaalselt ja horisontaalselt. Määrake x=0{displaystyle x=0} ja y=0.{displaystyle y=0.}lim(0,y)â†'(0,0)x2−y2x2+y2=lim(0,y) â†'(0,0)(0)2−y2(0)2+y2=−1.{displaystyle lim _{(0,y)to (0,0)}{frac {x ^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=lim _{(0,y)to (0,0)}{frac {(0) ^{2}-y^{2}}{(0)^{2}+y^{2}}}=-1.}lim(x,0)â†'(0,0)x2−y2x2+ y2=lim(x,0)â†'(0,0)x2âˆ'(0)2×2+(0)2=1.{displaystyle lim _{(x,0)to (0,0)}{ frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=lim _{(x,0)kuni (0,0)}{frac {x^{2}-(0)^{2}}{x^{2}+(0)^{2}}}=1.}Kuna need kaks piirangut on erinevad, siis piirang DNE.
4
Teisenda polaarseks vormiks. Mitme muutuja piirid on polaarkoordinaatides sageli lihtsamad. Sel juhul x=rcosâ¡Î¸{displaystyle x=rcos theta } ja y=rsinâ¡Î¸.{displaystyle y=rsin theta .} Vaatame, kuidas see toimib.
5
Hinnake limit.lim(x,y)â†'(0,0)xy2x2+y2{displaystyle lim _{(x,y)to (0,0)}{frac {xy^{2} }{x^{2}+y^{2}}}}
6
Teisenda polar.limr→0r3cos⡡θsin2â¡Î¸r2=limr→0(rcosâ¡Î¸sin2â¡Î¸){displaystyle lim _{rto 0}{frac {r^{3}cos theta sin ^{2}theta }{r^{2}}}=lim _{rto 0}(rcos theta sin ^{2} teeta )}
7
Kasutage pigistamise teoreemi. Kuigi limiiti võetakse kui r→0, {displaystyle rto 0,} sõltub limiit ka θ{displaystyle theta }-st. Siis võiks naiivselt järeldada, et piir DNE. Piirang sõltub aga r-st, {displaystyle r,}-st, nii et piirang võib eksisteerida või mitte. Kuna |sinâ¡Î¸|≤1{displaystyle |sin theta |leq 1} ja |cosâ¡Î¸|≤1,|cosâ¡Î¸sin2â¡Î¸|≤1{displaystyle |cos theta |leq 1,|cos theta sin ^{ 2}theta |leq 1} samuti.Seejärel |rcosâ¡Î¸sin2â¡Î¸|≤r.{displaystyle |rcos theta sin ^{2}theta |leq r.}
8
Võtke kõigi kolme avaldise piirang. Kuna limr→0(−r)=limr→0(r)=0, {displaystyle lim _{rto 0}(-r)=lim _{ rto 0}(r)=0,} pigistamise teoreemi järgi, limr→0(rcos⡡θsin2â¡Î¸)=0.{displaystyle lim _{rto 0}(r cos theta sin ^{2}theta )=0.}R{displaystyle r} sõltuvuse ja pigistamise teoreemi kasutamise tõttu on ülaltoodud limiidi suurus väidetavalt piiratud. Teisisõnu, kui r→0, {displaystyle rto 0,} rcosâ¡Î¸sin2â¡Î¸{displaystyle rcos theta sin ^{2}theta väärtuste vahemik } kahaneb samuti 0-ni, kuigi θ{displaystyle theta } on suvaline.
9
Hinnake limit.lim(x,y)â†'(0,0)xyx2+y2{displaystyle lim _{(x,y)to (0,0)}{frac {xy}{x^ {2}+y^{2}}}}See nä