Eksponentfunktsioonid on funktsioonide erikategooria, mis hõlmab eksponente, mis on muutujad või funktsioonid. Kasutades mõningaid arvutuse põhireegleid, võite alustada põhifunktsioonide nagu ax{displaystyle a^{x}} tuletise leidmisega. See annab seejärel vormi, mida saate kasutada mis tahes arvulise baasi jaoks, mis on tõstetud muutuja astendajaks. Seda tööd laiendades leiate ka funktsioonide tuletise, kus eksponent on ise funktsioon. Lõpuks näete, kuidas eristada “jõutorni” – erifunktsiooni, mille eksponents ühtib baasiga.
1
Alustage üldise eksponentsiaalfunktsiooniga. Alustage eksponentsiaalse põhifunktsiooniga, kasutades alusena muutujat. Arvutades sel viisil üldfunktsiooni tuletise, saate lahendust kasutada mudelina tervele sarnaste funktsioonide perekonnale.y=ax{displaystyle y=a^{x}}
2
Võtke mõlema poole naturaallogaritm. Funktsiooniga tuleb manipuleerida, et aidata leida muutuja x{displaystyle x} järgi standardne tuletis. See algab mõlema poole naturaallogaritmi võtmisega järgmiselt: lnâ¡y=lnâ¡ax{displaystyle ln y=ln a^{x}}
3
Kõrvaldage eksponent. Kasutades logaritmi reegleid, saab seda võrrandit astendaja elimineerimiseks lihtsustada. Logaritmifunktsiooni astendaja saab eemaldada logaritmi ees mitmekordsena järgmiselt: lnâ¡y=xlnâ¡a{displaystyle ln y=xln a}
4
Eristage mõlemat poolt ja lihtsustage. Järgmine samm on iga külje eristamine x{displaystyle x} järgi. Kuna a{displaystyle a} on konstant, siis lnâ¡a{displaystyle ln a} on samuti konstant. Tuletis x{displaystyle x} lihtsustub 1-ks ja termin kaob. Toimingud on järgmised: lnâ¡y=xlnâ¡a{displaystyle ln y=xln a}ddxlnâ¡y=ddxxlnâ¡a{displaystyle {frac {d}{dx}} ln y={frac {d}{dx}}xln a}1ydydx=lnâ¡addxx{displaystyle {frac {1}{y}}{frac {dy}{dx}}=ln a{frac {d}{dx}}x}1ydydx=lnâ¡a∗1{displaystyle {frac {1}{y}}{frac {dy}{dx}}=ln a*1 }1ydydx=lnâ¡a{displaystyle {frac {1}{y}}{frac {dy}{dx}}=ln a}
5
Lihtsustage tuletise lahendamiseks. Tuletise eraldamiseks korrutage mõlemad pooled y-ga. Kasutades algebra põhisamme, korrutage selle võrrandi mõlemad pooled y{displaystyle y}-ga. See isoleerib y{displaystyle y} tuletise võrrandi vasakul küljel. Seejärel tuletage meelde, et y=ax{displaystyle y=a^{x}}, nii et asendage see väärtus võrrandi paremal küljel. Toimingud näevad välja järgmised:1ydydx=lnâ¡a{displaystyle {frac {1}{y}}{frac {dy}{dx}}=ln a}dydx=ylnâ¡a{displaystyle { frac {dy}{dx}}=yln a}dydx=axlnâ¡¡a{displaystyle {frac {dy}{dx}}=a^{x}ln a}
6
Lõpptulemuse tõlgendamine. Tuletades meelde, et algne funktsioon oli eksponentsiaalfunktsioon y=ax{displaystyle y=a^{x}}, näitab see lahendus, et üldise eksponentsiaalfunktsiooni tuletis on axlnâ¡a{displaystyle a^{x}ln a}. Seda saab laiendada mis tahes a{displaystyle a} väärtuse jaoks, nagu järgmistes näidetes:ddx2x=2xlnâ¡2{displaystyle {frac {d}{dx}}2^{x}=2 ^{x}ln 2}ddx3x=3xlnâ¡3{displaystyle {frac {d}{dx}}3^{x}=3^{x}ln 3}ddx10x=10xlnâ¡¡10{ kuvastiil {frac {d}{dx}}10^{x}=10^{x}ln 10}
7
Valige spetsiaalne näide. Eelnev osa näitas, kuidas eristada eksponentsiaalfunktsiooni üldjuhtu, mille aluseks on mis tahes konstant. Järgmisena valige erijuhtum, kus aluseks on eksponentsiaalne konstant e{displaystyle e}.e{displaystyle e} on matemaatiline konstant, mis on ligikaudu võrdne väärtusega 2,718. Selle tuletamise jaoks valige erifunktsioon y=ex{ kuvastiil y=e^{x}}.
8
Kasutage üldise eksponentsiaalfunktsiooni tuletise tõestust. Tuletage eelmisest jaotisest meelde, et üldise eksponentsiaalfunktsiooni ax{displaystyle a^{x}} tuletis on axlnâ¡a{displaystyle a^{x}ln a}. Rakendage see tulemus erifunktsioonile ex{displaystyle e^{x}} järgmiselt:y=ex{displaystyle y=e^{x}}dydx=ddxex{displaystyle {frac {dy}{dx}} ={frac {d}{dx}}e^{x}}dydx=exlnâ¡e{displaystyle {frac {dy}{dx}}=e^{x}ln e}
9
Lihtsusta tulemust. Tuletame meelde, et naturaallogaritm põhineb erikonstandil e{displaystyle e}. Seetõttu on e{displaystyle e} naturaalne logaritm vaid 1. See lihtsustab tuletist järgmiselt: dydx=exlnâ¡¡e{displaystyle {frac {dy}{dx}}=e^{x} ln e}dydx=ex∗1{displaystyle {frac {dy}{dx}}=e^{x}*1}dydx=ex{displaystyle {frac {dy}{dx}}=e^{ x}}
10
Lõpptulemuse tõlgendamine. See tõestus viib erijuhtumini, et funktsiooni ex{displaystyle e^{x}} tuletis on just see funktsioon ise. Seega:ddxex=ex{displaystyle {frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}
11
Määratlege oma funktsioon. Selle näite jaoks leiate funktsioonide üldise tuletise, mille e{displaystyle e} on tõstetud astendajaks, kui eksponent ise on x{displaystyle x} funktsioon. Näiteks vaatleme funktsiooni y=e2x +3{displaystyle y=e^{2x+3}}.
12
Määratlege muutuja u{displaystyle u}. See lahendus hõlmab tuletisinstrumentide ahelreeglit. Tuletage meelde, et ahelreegel kehtib siis, kui teil on üks funktsioon u(x){displaystyle u(x)}, mis on pesastatud teise sisse, f(x){displaystyle f(x)}, nagu siin. Ahelireegel ütleb:dydx=dydu∗dudx{displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {dy}{du}}*{frac {du}{dx}}}Kokkuvõttes defineerib eksponendi eraldi funktsioonina u(x){displaystyle u(x)}. Selle näite puhul on eksponendiks pesastatud funktsioon u(x){displaystyle u(x)}. Seega selle näite puhul:y=eu{displaystyle y=e^{u}}, andu=2x+3{displaystyle u=2x+3}
13
Rakendage ketireeglit. Ahelireegel nõuab mõlema funktsiooni y{displaystyle y} ja u{displaystyle u} tuletised. Saadud tuletis on siis nende kahe korrutis. Kaks eraldi tuletist on:dydu=ddueu=eu{displaystyle {frac {dy}{du}}={frac {d}{du}}e^{u }=e^{u}}. (Pidage meeles, et ex{displaystyle e^{x}} tuletis on ex{displaystyle e^{x}}.)dudx=ddx(2x+3)=2{displaystyle {frac {du}{dx }}={frac {d}{dx}}(2x+3)=2}Pärast kahe eraldi tuletise leidmist ühendage need, et leida algse funktsiooni tuletis:dydx=dydu∗dudx{displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {dy}{du}}*{frac {du}{dx}}}ddxe2x+3=e(2x+3)∗2=2e(2x+3) {displaystyle {frac {d}{dx}}e^{2x+3}=e^{(2x+3)}*2=2e^{(2x+3)}}
14
Harjutage teist näidet e{displaystyle e} funktsionaalse astendajaga. Valige teine näide, y=esinâ¡x{displaystyle y=e^{sin x}}. Määratlege pesastatud funktsioon. Sel juhul u=sinâ¡x{displaystyle u=sin x}. Leidke funktsioonide y{displaystyle y} ja u{displaystyle u}.dydu=eu{displaystyle {frac { tuletised dy} displaystyle y=e^{sin x}}dydx=dydu∗dudx{displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {dy}{du}}*{frac {du}{dx }}}ddxesinâ¡¡x=eu∗cosâ¡x=esinâ¡¡xcosâ¡¡x{displaystyle {frac {d}{dx}}e^{sin x}=e^{u}* cos x=e^{sin x}cos x}
15
Määratlege funktsioon. Selle erinäite jaoks, mida mõnikord nimetatakse ka “jõutorniks”, valige funktsioon, et:y=xx{displaystyle y=x^{x}}
16
Leidke mõlema külje naturaallogaritm. Nagu varemgi, algab lahendus siin võrrandi mõlema poole naturaallogaritmiga: lnâ¡y=lnâ¡(xx){displaystyle ln y=ln(x^{x})}lnâ¡¡y =xlnâ¡x{displaystyle ln y=xln x}
17
Võtke võrrandi mõlema poole tuletis. Selle võrrandi paremal küljel peate rakendama tuletisinstrumentide korrutisreeglit. Tuletame meelde, et tootereegel ütleb, et kui y=f(x)∗g(x){displaystyle y=f(x)*g(x)}, siis y′=f∗g′+f′∠—g{displaystyle y^{prime }=f*g^{prime }+f^{prime }*g}.lnâ¡y=xlnâ¡¡x{displaystyle ln y=xln x}1ydydx=x∗1x+1∗lnâ¡x{displaystyle {frac {1}{y}}{frac {dy}{dx}}=x*{frac {1}{x}} +1*ln x}1ydydx=1+lnâ¡x{displaystyle {frac {1}{y}}{frac {dy}{dx}}=1+ln x}
18
Korrutage mõlemad pooled y-ga. Eraldage parempoolne tuletistermin, korrutades võrrandi mõlemad pooled arvuga y.1ydydx=1+lnâ¡x{displaystyle {frac {1}{y}}{frac {dy}{dx}}=1 +ln x}dydx=y∗(1+lnâ¡¡x){displaystyle {frac {dy}{dx}}=y*(1+ln x)}
19
Asendage y algväärtus. Tuletage esimesest sammust meelde, et funktsioon on y=xx{displaystyle y=x^{x}}. Selle termini asendamine y{displaystyle y} asemel on viimane samm tuletise.dydx=y∗(1+lnâ¡x){displaystyle {frac {dy}{dx}}=y*( 1+ln x)}dydx=xx(1+lnâ¡x){displaystyle {frac {dy}{dx}}=x^{x}(1+ln x)}ddxxx=xx+xxlnâ ¡x{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{x}=x^{x}+x^{x}ln x}