Erinevalt sirgjoonest muutub kõvera kalle graafikul liikudes pidevalt. Calculus tutvustab õpilastele ideed, et selle graafiku iga punkti saab kirjeldada kaldega või “hetkelise muutuse kiirusega”. Puutuja on selle kaldega sirgjoon, mis läbib täpselt seda graafiku punkti. Tangensi võrrandi leidmiseks peate teadma, kuidas võtta algvõrrandi tuletis.
1
Visandage funktsioon ja puutuja (soovitatav). Graafiku abil on lihtsam probleemi jälgida ja kontrollida, kas vastus on mõttekas. Joonistage funktsioon millimeetripaberile, kasutades vajadusel graafikakalkulaatorit. Joonistage antud punkti läbiv puutuja joon. (Pidage meeles, et puutuja joon jookseb läbi selle punkti ja sellel on sama kalle kui graafikul selles punktis.) Näide 1: visandage parabooli f(x)=0,5×2+3x−1{displaystyle f(x) graafik. =0,5x^{2}+3x-1}. Joonistage puutuja, mis läbib punkti (-6, -1). Te ei tea veel puutuja võrrandit, kuid võite juba öelda, et selle kalle on negatiivne ja y-lõikepunkt on negatiivne (palju alla parabooli tipu y väärtus -5,5). Kui teie lõplik vastus ei vasta nendele üksikasjadele, peate kontrollima oma töös vigu.
2
Võtke esimene tuletis, et leida puutuja kalde võrrand. Funktsiooni f(x) puhul esindab esimene tuletis f'(x) puutuja kalde võrrandit f(x) mis tahes punktis. Tuletisinstrumentide võtmiseks on palju võimalusi. Siin on lihtne näide võimsusreegli kasutamisest: Näide 1 (jätkub): graafikut kirjeldab funktsioon f(x)=0,5×2+3x−1{displaystyle f(x)=0,5x^{2}+3x -1}. Tuletiste tegemisel tuletage meelde võimsusreeglit: ddxxn=nxn−1{displaystyle {frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}. Funktsiooni esimene tuletis = f'(x) = (2)(0,5)x + 3 – 0.f'(x) = x + 3. Ühendage selle võrrandiga mis tahes väärtus a jaoks x ja tulemuseks on sirge puutuja kalle f(x) punktis olid x = a.
3
Sisestage uuritava punkti x väärtus. Lugege ülesannet, et leida selle punkti koordinaadid, mille puutujajoone leiate. Sisestage selle punkti x-koordinaat lahtrisse f'(x). Väljundiks on puutuja sirge kalle selles punktis.Näide 1 (jätkub): Ülesandes mainitud punkt on (-6, -1). Kasutage x-koordinaati -6 sisendiks f'(x):f'(-6) = -6 + 3 = -3Puutuja kalle on -3.
4
Kirjutage puutuja võrrand punkt-kalde kujul. Lineaarvõrrandi punkt-kalde vorm on y−y1=m(x−x1){displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}, kus m on kalle ja (x1, y1){displaystyle (x_{1},y_{1})} on punkt joonel. Nüüd on teil kogu teave, mida vajate puutuja võrrandi kirjutamiseks sellel kujul. Näide 1 (jätkub): y−y1=m(x−x1){displaystyle y-y_{1}=m(x-x_ {1})}Sirge kalle on -3, seega y−y1=−3(x−x1){displaystyle y-y_{1}=-3(x-x_{1})}Tangens rida läbib (-6, -1), seega on lõplik võrrand yâˆ'(−1)=−3(xâˆ'(−6)){displaystyle y-(-1)=-3(x -(-6))}Lihtsusta y+1=−3x−18{displaystyle y+1=-3x-18}y=−3x−19{displaystyle y=-3x-19}
5
Kinnitage võrrand oma graafikul. Kui teil on graafikakalkulaator, joonistage algfunktsioon ja puutuja joon, et kontrollida, kas teil on õige vastus. Kui töötate paberil, vaadake oma varasemat graafikut, et veenduda, et teie vastuses pole silmatorkavaid vigu. Näide 1 (jätkub): esialgne visand näitas, et puutujajoone kalle oli negatiivne ja y-lõikepunkt oli hea alla -5,5. Meie leitud puutuja võrrand on y = -3x – 19 kaldelõike kujul, mis tähendab, et -3 on kalle ja -19 on y-lõikepunkt. Mõlemad atribuudid vastavad esialgsetele ennustustele.
6
Proovige mõnda keerulisemat ülesannet. Siin on taaskord kogu protsessi ülevaade. Seekord on eesmärk leida sirge puutuja f(x)=x3+2×2+5x+1{displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1} punktis x = 2: võimsusreeglit kasutades on esimene tuletis f′(x)=3×2+4x+5{displaystyle f'(x)=3x^{2}+4x+5}. See funktsioon ütleb meile puutuja kalde. Kuna x = 2, leidke f′(2)=3(2)2+4(2)+5=25{displaystyle f'(2)=3(2 )^{2}+4(2)+5=25}. See on kalle x = 2. Pange tähele, et meil pole seekord punkti, on ainult x-koordinaat. Y-koordinaadi leidmiseks ühendage x = 2 algfunktsiooniga: f(2)=23+2(2)2+5(2)+1=27{displaystyle f(2)=2^{3} +2(2)^{2}+5(2)+1=27}. Punkt on (2,27). Kirjutage puutuja võrrand punkti-kalde kujul: y−y1=m(x−x1){displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})} y−27=25(x−2){displaystyle y-27=25(x-2)}Vajadusel lihtsustage y = 25x – 23.
7
Leidke graafikult äärmuslikud punktid. Need on punktid, kus graafik saavutab kohaliku maksimumi (punkt, mis on kõrgem kui kummalgi küljel olevad punktid) või kohaliku miinimumi (madalam kui kummalgi küljel olevad punktid). Puutuja sirgel on nendes punktides alati kalle 0 (horisontaalne joon), kuid nullkalle üksi ei taga äärmuslikku punkti. Nende leidmiseks tehke järgmist.Võtke funktsiooni esimene tuletis, et saada puutuja kalde võrrand f'(x).Võimalike äärmuslike punktide leidmiseks lahendage f'(x) = 0.F-i saamiseks võtke teine tuletis ”(x), võrrand, mis näitab, kui kiiresti puutuja kalle muutub. Iga võimaliku äärmuspunkti jaoks ühendage x-koordinaat a punktiga f”(x). Kui f”(a) on positiivne, on kohal a lokaalne miinimum. Kui f”(a) on negatiivne, on olemas kohalik maksimum. Kui f”(a) on 0, on olemas käänupunkt, mitte äärmuspunkt. Kui punktis a on maksimum või miinimum, leia y-koordinaadi saamiseks f(a).
8
Leidke normaalvõrrand. Konkreetses punktis kõvera “normaal” läbib seda punkti, kuid sellel on puutujaga risti kalle. Normaali võrrandi leidmiseks kasutage ära asjaolu, et (puutuja kalle)(normaali kalle) = -1, kui nad mõlemad läbivad graafikul sama punkti. Teisisõnu: leidke f'(x), puutuja kalle. Kui punkt on punktis x = a, leidke puutuja kalde leidmiseks selles punktis f'(a). Arvutage −1f′ (a){displaystyle {frac {-1}{f'(a)}}} normaalarvu kalde leidmiseks.Kirjutage normaalvõrrand kaldepunkti kujul.