Ruutvõrratus on selline, mis sisaldab x2{displaystyle x^{2}} liiget ja millel on seega kaks juurt või kaks x-lõikepunkti. Selle tulemuseks on ebavõrdsuse joonistamisel koordinaattasandil parabool. Ebavõrdsuse lahendamine tähendab x väärtuste leidmist, mis muudavad ebavõrdsuse tõeseks. Saate neid lahendusi näidata algebraliselt või illustreerides ebavõrdsust arvtel või koordinaattasandil.
1
Kirjutage ebavõrdsus standardkujul. Ruutarvu standardvorm on trinoom, mis järgib struktuuri ax2+bx+c<0{displaystyle ax^{2}+bx+c<0}, kus a{displaystyle a}, b{displaystyle b} , ja c{displaystyle c} on teadaolevad koefitsiendid ning a≠0{displaystyle aneq 0}. Näiteks ebavõrdsus x(x+4)<21{displaystyle x(x+4)<21} ei ole standardkujul. Esiteks peate x{displaystyle x} ja x+4{displaystyle x+4} korrutamiseks kasutama distributiivset omadust. Seejärel tuleb ebavõrdsuse mõlemast küljest lahutada 21:x(x+4)<21{displaystyle x(x+4)<21}x2+4x<21{displaystyle x^{2}+4x< 21}x2+4xâˆ'21<21âˆ'21{displaystyle x^{2}+4x-21<21-21}x2+4xâˆ'21<0{displaystyle x^{2}+4x-21<0} 2
Leidke kaks tegurit, mille korrutis on ebavõrdsuse esimene liige. Ebavõrdsuse arvutamiseks peate leidma kaks binoom, mille korrutis on võrdne ebavõrdsuse standardvormiga. Binoom on kahenimeline avaldis. Selleks peate lõpetama FOIL-meetodi vastupidises järjekorras. Alustuseks leidke iga binoomnumbri esimese liikme jaoks kaks tegurit. Näiteks x×x=x2{displaystyle xtimes x=x^{2}}, et saaksite oma tegurite seadistamist alustada järgmiselt: (x) (x)<0{displaystyle (x)(x)<0}. 3
Leidke kaks tegurit, mille korrutis on ebavõrdsuse standardkuju kolmas liige. Nende kahe teguri summa peab olema võrdne ka ebavõrdsuse teise liikmega. Tõenäoliselt peate praegu arvama ja kontrollima, et näha, millised kaks tegurit vastavad neile kahele nõudele. Pöörake kindlasti tähelepanelikult ka positiivseid ja negatiivseid märke. Näiteks:7×âˆ'3=âˆ'21{displaystyle 7times -3=-21}-21 on ebavõrdsuse kolmas liige, nii et need kaks tegurit (7 ja -3) võivad toimida. Nüüd peate nägema, kas nende tegurite summa võrdub ebavõrdsuse teise liikmega (4{displaystyle 4}). Kuna 7+âˆ'3=4{displaystyle 7+-3=4}, vastavad need kaks tegurit mõlemad nõuded. Seega on teie faktorite võrratus (x+7)(x−3)<0{displaystyle (x+7)(x-3)<0}. 4
Tehke kindlaks, kas teie teguritel on sama märk. Kui ebavõrdsuse kohaselt on tegurite korrutis suurem kui null, siis on mõlemad tegurid negatiivsed (vähem kui 0) või mõlemad tegurid positiivsed (suuremad kui 0), kuna negatiivne korda negatiivne võrdub positiivne ja positiivne korda positiivne võrdub positiivsega. Kui ebavõrdsus on suurem või võrdne (≥{displaystyle geq }) või väiksem või võrdne (≤{displaystyle leq }), üks või mõlemad tegurid võivad olla null. Näiteks ebavõrdsuse (x+7)(xâˆ'3)<0{displaystyle (x+7)(x-3)<0} korral on tegurite korrutis on väiksem kui 0 ja seega ei ole kahel teguril sama märk. 5
Tehke kindlaks, kas teie teguritel on vastupidised märgid. Kui ebavõrdsuse järgi on tegurite korrutis väiksem kui 0, siis on üks tegur väiksem kui 0 ehk negatiivne ja teine tegur suurem kui null ehk positiivne. Selle põhjuseks on asjaolu, et negatiivne korda positiivne võrdub negatiivsega. Jällegi, kui ebavõrdsus on suurem või võrdne (≥{displaystyle geq }) või väiksem või võrdne (≤{displaystyle leq } ), võib üks või mõlemad tegurid olla null. Näiteks ebavõrdsuse (x+7)(xâˆ'3)<0{displaystyle (x+7)(x-3)<0} korral korrutis tegurid on väiksemad kui 0 ja seega on neil kahel teguril erinevad märgid. 6
Kirjutage juurte valikud. Kirjutage need valikud, muutes iga teguri ebavõrdsuseks, lähtudes sellest, kas neil on samad või vastupidised märgid. Teil peaks olema kaks võimalust. Näiteks avastasite, et ebavõrdsuse (x+7)(xâˆ'3)<0{displaystyle (x+7)(x-3)<0} teguritel peavad olema vastupidised märgid, nii et teie valikud on esitatud seegaly:x+7<0{displaystyle x+7<0} JA xâˆ'3>0{displaystyle x-3>0} (see tähendab, et esimene tegur on negatiivne ja teine tegur positiivne. )ORx+7>0{displaystyle x+7>0} JA x−3<0{displaystyle x-3<0} (see tähendab, et esimene tegur on positiivne ja teine tegur negatiivne.) 7
Lihtsustage esimese variandi juured. Lihtsustamise huvides eraldage iga teguri jaoks muutuja x{displaystyle x}. Ärge unustage, et kui korrutate või jagate võrratuse negatiivse arvuga, peate ebavõrdsuse märgi ümber pöörama. Näiteks (x+7)(xâˆ'3)<0{displaystyle (x+7) esimene valik )(x-3)<0} oli see, et x+7<0{displaystyle x+7<0} JA xâˆ'3>0{displaystyle x-3>0}. Esmalt lahendage x+7<0{ displaystyle x+7<0} x{displaystyle x}:x+7âˆ'7<0âˆ'7{displaystyle x+7-7<0-7}x<âˆ'7{displaystyle x<-7 jaoks }Seejärel lahendage xâˆ'3>0{displaystyle x-3>0} jaoks x{displaystyle x}:x−3+3>0+3{displaystyle x-3+3>0+3}x<3 {displaystyle x<3}Niisiis, teie esimese valiku lihtsustatud juured on x<âˆ'7{displaystyle x<-7} ja x>3{displaystyle x>3}.
8
Kontrollige oma esimese valiku juurte kehtivust. Selleks vaadake, kas saate juuri ühendada, et teha õige ebavõrdsus. Kui leiate mõlema juure jaoks tõesed väärtused, on valik kehtiv. Kui te ei saa, siis selle valiku juured ei kehti. Näiteks esimese valiku x<âˆ'7{displaystyle x<-7} ja x>3{displaystyle x>3} jaoks on vaja et teha kindlaks, kas on väärtusi, mis vastavad mõlemale nõudele. Küsige endalt, kas on väärtus, mis on nii väiksem kui -7 ja suurem kui 3? Kuna ükski arv ei saa olla väiksem kui -7 ega suurem kui 3, siis teate, et see valik ei kehti.
9
Lihtsustage teise võimaluse juured. Eraldage iga teguri jaoks muutuja x{displaystyle x}, jättes negatiivse arvu korrutamise või jagamise korral meeles ebavõrdsuse märgi ümberpööramist. Näiteks (x+7)(x−3)<0{ kuvastiil (x+7)(x-3)<0} oli see, et x+7>0{displaystyle x+7>0} JA x−3<0{displaystyle x-3<0}. Esmalt lahendage x +7>0{displaystyle x+7>0} x{displaystyle x}:x+7−7>0−7{displaystyle x+7-7>0-7}x>−7{ displaystyle x>-7}Seejärel lahendage x−3<0{displaystyle x-3<0} jaoks x{displaystyle x}:xâˆ'3+3<0+3{displaystyle x-3+3<0+ 3}x<3{displaystyle x<3}Teise valiku lihtsustatud juured on x>−7{displaystyle x>-7} ja x<3{displaystyle x<3}. 10
Kontrollige oma teise valiku juurte kehtivust. Kui leiate mõlema juure jaoks tõesed väärtused, on valik kehtiv. Kui te ei saa, ei kehti selle suvandi juured. Näiteks on teine valik x>−7{displaystyle x>-7} ja x<3{displaystyle x<3}, nii et tuleb leida x{displaystyle x} väärtus, mis rahuldaks mõlemat ebavõrdsust. Küsige endalt, kas on väärtus, mis on nii suurem kui -7 ja väiksem kui 3? Kuna on palju numbreid, mis on nii suuremad kui -7 ja väiksemad kui 3 (näiteks 0), siis teate, et see valik kehtib ja seega on need juured ebavõrdsuse lahenduseks. 11
Joonistage arvurida. Joonistage see kindlasti vastavalt nõutavatele spetsifikatsioonidele. Kui teie arvureal pole spetsifikatsioone, lisage kindlasti mõlema varem leitud x{displaystyle x} väärtuse positsioonid. Lisage mõned väärtused nende kohale ja alla, et arvurida oleks lihtsam tõlgendada. Näiteks kuna ebavõrdsuse x(x+4)<21{displaystyle x(x+4)<21} juured on x>∠‘7{displaystyle x>-7} ja x<3{displaystyle x<3}, tõmmake arvurida, mis sisaldab positsioone -7 ja 3 jaoks. 12
Joonistage x{displaystyle x} väärtused arvureale. Joonistage punktid, tõmmates nende asukohale arvujoonel ringi. Kui ebavõrdsus on suurem kui (>{displaystyle >}) või väiksem kui (<{displaystyle <}), tõmmake avatud ring. Kui ebavõrdsus on suurem või võrdne (≥{displaystyle geq }) või väiksem kui (≤{displaystyle leq }) või sellega võrdne, täitke arvureal olev ring, kuna väärtused on komplektis. Näiteks kuna juured, millega töötate, on x>−7{displaystyle x>-7} ja x<3{displaystyle x<3}, peaksite joonistama avatud ringid - 7 ja 3 positsioonid numbrireal. 13
Joonistage kaasatud väärtusi tähistavad nooled või jooned. Kui x{displaystyle x} on väärtusest suurem, tõmmake arvureale joon, mis osutab paremale, kuna kaasatud väärtused on suuremad kui x{displaystyle x}. Kui x{displaystyle x} on väärtusest väiksem, tõmmake arvureale vasakule osutav joon, kuna kaasatud väärtused on väiksemad kui x{displaystyle x}. Kui kaasatud väärtused jäävad kahe numbri vahele, tõmbate kahe joonistatud punkti vahele joone. Näiteks kuna soovite näidata, et x>−7{displaystyle x>-7}, aga ka x<3{displaystyle x<3}, peate arvujoonele tõmbama joone vahemikus -7 kuni 3. 14
Joonistage x-lõikepunktid koordinaattasandile. X-lõikepunkt on punkt, kus parabool ristub x-teljega. Kaks leitud juurt on x-lõikepunktid. Näiteks kui ebavõrdsus on x2+4xâˆ'21<0{displaystyle x^{2}+4x-21<0}, siis x-lõikepunktid on x>∠‘7{displaystyle x>-7} ja x<3{displaystyle x<3}, kuna need on juured, mille leidsite ruutvalemi või faktoringu kasutamisel. 15
Leia sümmeetriatelg. Sümmeetriatelg on joon, mis lõikab parabooli pooleks. Sümmeetriatelje leidmiseks kasutage valemit x=âˆ'b2a{displaystyle x={frac {-b}{2a}}}, kus a{displaystyle a} ja b{displaystyle b} vastavad mõisted algses ruutvõrratuses. Näiteks ebavõrdsuse x2+4xâˆ'21<0{displaystyle x^{2}+4x-21<0} jaoks arvutate esmalt x=âˆ'42(1){ displaystyle x={frac {-4}{2(1)}}}:x=âˆ'42{displaystyle x={frac {-4}{2}}}x=âˆ'2{displaystyle x =-2}. Seega on sümmeetriatelg joon x=−2{displaystyle x=-2} 16
Leidke parabooli tipp. Tipp on parabooli kõrgeim või madalpunkt. Tipu leidmiseks muutke esmalt algne võrratus võrrandiks, mis on võrdne y{displaystyle y}-ga. Seejärel ühendage võrrandisse sümmeetriatelje jaoks leitud väärtus x{displaystyle x}. Näiteks kui sümmeetriatelg on x=âˆ'2{displaystyle x=-2}, ühendage võrrandisse -2 ja lahenda:y=(âˆ'2)2+4(âˆ'2)+âˆ'21{displaystyle y=(-2)^{2}+4(-2)+-21}y=4âˆ'8∠'21{displaystyle y=4-8-21}y=4âˆ'8âˆ'21{displaystyle y=4-8-21}Seega on parabooli tipp punktis (âˆ'2,âˆ'25 ){displaystyle (-2,-25)}. 17
Määrake parabooli suund. Parabooli suuna teadasaamiseks vaadake ebavõrdsuse a{displaystyle a} liiget standardkujul. Kui a{displaystyle a} termin on positiivne, on parabool "parempoolne ülespoole", mis tähendab, et see avaneb ülespoole. Kui a{displaystyle a} termin on negatiivne, on parabool "tagurpidi ,†tähendab, et see avaneb allapoole. Kuna a{displaystyle a} liige ebavõrdsuses x2+4xâˆ'21<0{displaystyle x^{2}+4x-21<0} on positiivne, on parabool on parempoolne ülespoole. 18
Joonistage parabool pideva või punktiirjoonega. Kui ebavõrdsus on suurem või võrdne (≥{displaystyle geq }) või väiksem kui (≤{displaystyle leq }) või sellega võrdne, tõmmake parabool pideva joonega, kuna rida on lahenduskomplektis. Kui ebavõrdsus on suurem kui (>{displaystyle >}) või väiksem kui (<{displaystyle <}), tõmmake parabool punktiirjoonega, kuna joonel olevad väärtused ei sisaldu lahenduskomplektis. rida x2+4xâˆ'21<0{displaystyle x^{2}+4x-21<0} on väiksem kui null (mitte väiksem ega võrdne sellega), tuleks parabool tõmmata punktiirjoonega. 19
Varjutage graafikut. Et teada saada, kas varjutada x-teljest kõrgemale või allapoole, peate vaatama algset ebavõrdsust. Kui ebavõrdsus on väiksem kui null, varjute x-telje all. Kui ebavõrdsus on suurem kui null, varjute x-telje kohal. Et teada saada, kas varjutada parabooli sees või väljaspool, vaadake oma juuri või numbrijoont. Kui x{displaystyle x} kehtivad väärtused asuvad kahe juure vahel, varjutate parabooli sees. Kui x{displaystyle x} kehtivad väärtused asuvad väljaspool kahte juurt, siis varjute väljaspool parabooli. Näiteks kuna ebavõrdsus on x2+4xâˆ'21<0{displaystyle x^{2}+4x-21 <0}, varjutate x-telje all oleva piirkonna. Kuna kehtivad väärtused asuvad juurte -7 ja 3 vahel, varjutate nende kahe punkti vahelise piirkonna.