Kuigi ruutjuure sümboli hirmutav nägemus võib matemaatiliselt raskustes olevaid inimesi tõmblema panna, pole ruutjuure probleeme nii raske lahendada, kui esmapilgul võib tunduda. Lihtsaid ruutjuureülesandeid saab sageli lahendada sama lihtsalt kui põhilisi korrutamis- ja jagamisülesandeid. Keerulisemad ruutjuureprobleemid võivad seevastu nõuda tööd, kuid õige lähenemise korral võivad needki olla lihtsad. Alustage ruutjuure ülesannete harjutamist juba täna, et õppida seda radikaalset uut matemaatikaoskust!
1
Arv ruudustamiseks korrutades selle iseendaga. Ruutjuurte mõistmiseks on kõige parem alustada ruutudest. Ruudud on lihtsad, kuna arvu ruut korrutab selle lihtsalt iseendaga. Näiteks 3 ruudus on sama kui 3 × 3 = 9 ja 9 ruudus on sama kui 9 × 9 = 81. Ruudude kirjutamiseks märgitakse ruudus oleva arvu kohale ja paremale väike “2” nagu see: 32, 92, 1002 ja nii edasi. Selle kontseptsiooni testimiseks proovige veel mõned numbrid ruutudeks eraldada. Pidage meeles, et arvu ruudustamiseks korrutatakse see lihtsalt iseendaga. Seda saate teha isegi negatiivsete arvude puhul. Kui teete, on vastus alati positiivne. Näiteks (-8)2 = -8 × -8 = 64.
2
Ruutjuurte jaoks leidke ruudu “tagurpidi”. Ruutjuure sümbol (√, mida nimetatakse ka “radikaalseks” sümboliks) tähendab põhimõtteliselt sümboli 2 “vastandit”. Kui näete radikaali, soovite endalt küsida: “Milline arv saab korrutada iseendaga, et saada radikaali all olev arv?” Näiteks kui näete √(9), soovite leida arvu, mille saab ruudus teha üheksaks. Sel juhul on vastus kolm, sest 32 = 9. Teise näitena leiame 25 ruutjuure (√(25)). See tähendab, et me tahame leida arvu, mille ruudust saadakse 25. Kuna 52 = 5 × 5 = 25, võime öelda, et √(25) = 5. Seda võib mõelda ka kui ruudu “tühistamist”. Näiteks kui tahame leida √(64), 64 ruutjuure, siis alustame sellest, et 64 on 82. Kuna ruutjuure sümbol põhimõtteliselt “tühistab” ruudu, võime öelda, et √(64) = √(82) = 8.
3
Tea, mis vahe on täiuslike ja ebatäiuslike ruutude vahel. Siiani on meie ruutjuure ülesannete vastused olnud ilusad ümmargused numbrid. See ei ole alati nii, ruutjuure ülesannete vastused võivad mõnikord olla väga pikad ja ebamugavad kümnendkohad. Arve, mille ruutjuured on täisarvud (teisisõnu, arvud, mis ei ole murd- või kümnendkohad), nimetatakse täiuslikeks ruutudeks. Kõik ülaltoodud näited (9, 25 ja 64) on täiuslikud ruudud, sest kui võtame nende ruutjuured, saame täisarvud (3, 5 ja 8). Teisest küljest on arvud, mis ei anna tervikarvu. kui võtta nende ruutjuur, nimetatakse numbreid ebatäiuslikeks ruutudeks. Kui võtate ühe nendest arvudest ruutjuure, saate tavaliselt kümnendkoha või murdosa. Mõnikord võivad kümnendkohad olla üsna segased. Näiteks √(13) = 3,605551275464…
4
Jäta meelde esimesed 10–12 täiuslikku ruutu. Nagu olete ilmselt märganud, võib täiuslike ruutude ruutjuure võtmine olla üsna lihtne! Kuna need probleemid on nii lihtsad, tasub esimese kümnekonna täiusliku ruudu ruutjuured meelde jätta. Nende numbritega puutute sageli kokku, nii et kui võtate aega nende varajaseks õppimiseks, võite pikas perspektiivis säästa palju aega. Esimesed 12 täiuslikku ruutu on: 12 = 1 × 1 = 122 = 2 × 2 = 432 = 3 × 3 = 942 = 4 × 4 = 1652 = 5 × 5 = 2562 = 6 × 6 = 3672 = 7 × 7 = 4982 = 8 × 8 = 6492 = 9 × 9 = 81102 = 10 × 10 = 100112 = 11 × 11 = 121122 = 12 × 12 = 144
5
Lihtsustage ruutjuuri, eemaldades võimaluse korral täiuslikud ruudud. Ebatäiuslike ruutude ruutjuurte leidmine võib mõnikord olla pisut piin, eriti kui te ei kasuta kalkulaatorit (allolevatest jaotistest leiate nippe selle protsessi hõlbustamiseks). Sageli on aga ruutjuurtes olevaid numbreid võimalik lihtsustada, et nendega oleks lihtsam töötada. Selleks peate lihtsalt jagama radikaali all oleva arvu selle teguriteks, seejärel võtma ruutjuur kõigist teguritest, mis on täiuslikud ruudud, ja kirjutama vastuse väljapoole radikaali. See on lihtsam, kui see kõlab, lisateabe saamiseks lugege edasi! Oletame, et tahame leida 900 ruutjuure. Esmapilgul tundub see väga keeruline! Siiski pole raske, kui eraldame 900 selle teguriteks. Tegurid on arvud, mida saab omavahel korrutada, et saada teine arv. Näiteks kuna saate teha 6, korrutades 1 × 6 ja 2 × 3, on 6 tegurid 1, 2, 3 ja 6. Selle asemel, et töötada arvuga 900, mis on mõnevõrra ebamugav, kirjutagem selle asemel 900 kui 9 × 100. Nüüd, kuna 9, mis on täiuslik ruut, on eraldatud 100-st, saame selle ruutjuure võtta eraldi. √(9 × 100) = √(9) × √(100) = 3 × √(100). Teisisõnu, √(900) = 3√(100). Saame seda kahte sammu veelgi lihtsustada, jagades 100 teguriteks 25 ja 4. √(100) = √(25 × 4) = √(25) à — √(4) = 5 × 2 = 10. Seega võime öelda, et √(900) = 3(10) = 30.
6
Kasutage negatiivsete arvude ruutjuurte jaoks kujuteldavaid arve. Mõelge, milline arv korda ise võrdub -16? See ei ole 4 või -4, kui kumbki neist annab positiivse 16. Kas loobuda? Tegelikult ei saa tavaliste numbritega kirjutada ruutjuurt -16 või mõnda muud negatiivset arvu. Sellistel juhtudel peame negatiivse arvu ruutjuure asemel asendama kujuteldavad numbrid (tavaliselt tähtede või sümbolite kujul). Näiteks muutujat “i” kasutatakse tavaliselt -1 ruutjuure jaoks. Üldreeglina on negatiivse arvu ruutjuur alati kujutlusarv (või sisaldab seda). Pange tähele, et kuigi imaginaarseid arve ei saa esitada tavaliste numbritega, saab neid siiski mitmel viisil käsitleda tavaliste numbritena. Näiteks saab negatiivsete arvude ruutjuure ruudustada, et saada need negatiivsed arvud, nagu iga muu ruutjuur. Näiteks i2 = -1
7
Korraldage oma ruutjuure ülesanne nagu pika jagamise ülesanne. Kuigi see võib olla veidi aeganõudev, on raskete ebatäiuslike ruutude ruutjuure lahendamine võimalik ilma kalkulaatorita. Selleks kasutame lahendusmeetodit (või algoritmi), mis on sarnane, kuid mitte täpselt sama, mis põhiline pikk jagamine. Alustuseks kirjutage ruutjuure ülesanne välja samamoodi nagu pika jagamise ülesanne. Näiteks oletame, et tahame leida ruutjuurt 6,45, mis ei ole kindlasti mugav täiuslik ruut. Esiteks kirjutaksime tavalise radikaalsümboli (√), seejärel kirjutaksime selle alla oma numbri. Järgmiseks teeme oma numbri kohale rea, nii et see oleks väikeses “kastis”, nagu pikajaotuse puhul. Kui oleme lõpetanud, peaks meil olema pika sabaga sümbol “√”, mille alla on kirjutatud 6,45. Kirjutame oma probleemi kohale numbrid, seega jätke kindlasti ruumi.
8
Grupeeri numbrid paaridesse. Probleemi lahendamise alustamiseks rühmitage radikaalimärgi all oleva numbri numbrid paaridesse, alustades kümnendkohast. Võib-olla soovite oma paaride vahele teha väikesed märgid (nt punktid, kaldkriipsud, komad jne), et neid jälgida. Meie näites jagame 6,45 paarideks järgmiselt: 6-0,45-00. Pange tähele, et vasakul on “ülejäänud” number, see on OK.
9
Leia suurim arv, mille ruut on väiksem või võrdne esimese “rühmaga”. Alustage esimesest numbrist või paarist vasakul. Valige suurim arv, mille ruut on väiksem kui “rühm” või sellega võrdne. Näiteks kui rühmas oli 37, siis valite 6, sest 62 = 36 < 37, aga 72 = 49 > 37. Kirjutage see number esimese rühma kohale. See on teie vastuse esimene number. Meie näites on 6-.45-00 esimene rühm 6. Suurim arv, mis on ruudus 6-st väiksem või sellega võrdne, on 2 22 = 4. Kirjutage “2”. üle 6 radikaali all.
10
Kahekordne arv, mille just üles kirjutasite, seejärel kukutage see alla ja lahutage see. Võtke oma vastuse esimene number (number, mille just leidsite) ja kahekordistage see. Kirjutage see oma esimese rühma alla ja lahutage erinevuse leidmiseks. Pange järgmine numbripaar vastuse kõrvale alla. Lõpuks kirjutage oma vastuse esimese numbri kahekordse viimane number vasakule ja jätke selle kõrvale tühik. Meie näites võtaksime alustuseks kahekordse, meie vastuse esimese numbri. 2 × 2 = 4. Järgmiseks lahutame 6-st 4 (meie esimene “rühm”), saades vastuseks 2. Järgmiseks langetaksime alla järgmise rühma (45), et saada 245. Lõpuks kirjutaksime veel kord vasakule 4, jä