Matemaatikas on faktooring arvude või avaldiste leidmine, mis korrutatakse kokku, et saada antud arv või võrrand. Faktooring on kasulik oskus, mida õppida algebra põhiülesannete lahendamiseks; oskus asjatundlikult faktoreerida muutub ruutvõrrandite ja muude polünoomide vormide käsitlemisel peaaegu hädavajalikuks. Faktooringut saab kasutada algebraliste avaldiste lihtsustamiseks, et muuta lahendamine lihtsamaks. Faktooring võib isegi anda teile võimaluse kõrvaldada teatud võimalikud vastused palju kiiremini kui käsitsi lahendades.
1
Mõistke faktooringu määratlust üksikute numbrite puhul. Faktooring on kontseptuaalselt lihtne, kuid praktikas võib see keerukate võrrandite puhul osutuda keeruliseks. Seetõttu on faktooringu kontseptsioonile kõige lihtsam läheneda, alustades lihtsatest numbritest, seejärel liikuda edasi lihtsate võrrandite juurde, enne kui asuda lõpuks edasi arenenumate rakenduste juurde. Antud arvu tegurid on arvud, mis korrutades annavad selle arvu. Näiteks tegurid 12 on 1, 12, 2, 6, 3 ja 4, sest 1 × 12, 2 × 6 ja 3 × 4 on kõik võrdsed 12. Teine viis seda mõelda on see, et antud arvu tegurid on arvud, millega see on võrdselt jagatav. Kas leiate kõik arvu 60 tegurid? Kasutame arvu 60 väga erinevatel eesmärkidel (minutid tunnis, sekundid minutis jne), kuna see jagub ühtlaselt üsna paljude arvudega. Koefitsiendid 60 on 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60.
2
Saage aru, et muutuvaid avaldisi saab ka faktoristada. Nii nagu üksikuid numbreid saab faktoristada, saab ka arvuliste koefitsientidega muutujaid arvesse võtta. Selleks tuleb lihtsalt leida muutuja koefitsiendi tegurid. Muutujate faktoriseerimise teadmine on kasulik algebraliste võrrandite lihtsustamiseks, mille osaks need muutujad on. Näiteks muutuja 12x saab kirjutada tegurite 12 ja x korrutisena. Saame kirjutada 12x kui 3(4x), 2(6x) jne, kasutades selleks 12-kordseid tegureid, mis on meie eesmärkide jaoks kõige paremad. Võime isegi minna nii kaugele, et 12x kordame mitu korda. Teisisõnu, me ei pea piirduma 3(4x) või 2(6x)-ga – saame koefitsiendi 4x ja 6x anda vastavalt 3(2(2x) ja 2(3(2x)). Ilmselgelt need kaks väljendid on võrdsed.
3
Rakenda faktoralgebralistele võrranditele korrutamise jaotusomadus. Kasutades oma teadmisi üksikute arvude ja muutujate koefitsientidega faktoreerimise kohta, saate lihtsaid algebralisi võrrandeid lihtsustada, leides tegurid, mis algebralise võrrandi arvudel ja muutujatel on ühised. Tavaliselt püüame võrrandi võimalikult lihtsaks tegemiseks otsida suurimat ühistegurit. See lihtsustamisprotsess on võimalik tänu korrutamise jaotusomadusele, mis ütleb, et mis tahes arvu a, b ja c korral on a(b + c) = ab + ac. Proovime näidet. Algebralise võrrandi 12 x + 6 faktoristamiseks proovime esmalt leida 12x ja 6 suurima ühisteguri. 6 on suurim arv, mis jaguneb võrdselt nii 12x kui ka 6-ks, nii et saame võrrandit lihtsustada 6(2x + 1). See protsess kehtib ka negatiivsete ja murdosadega võrrandite puhul. Näiteks x/2 + 4 saab lihtsustada väärtuseks 1/2(x + 8) ja -7x + -21 saab faktoreerida väärtuseks -7(x + 3).
4
Veenduge, et võrrand oleks ruutvormingus (ax2 + bx + c = 0). Ruutvõrrandid on kujul ax2 + bx + c = 0, kus a, b ja c on arvkonstandid ja a ei võrdu 0-ga (pange tähele, et a võib olla 1 või -1). Kui teil on võrrand, mis sisaldab ühte muutujat (x), mille üks või mitu liiget x teise astmeni, saate tavaliselt võrrandis olevaid termineid nihutada, kasutades põhilisi algebralisi tehteid, et saada võrdusmärgi ja ax2 ühel küljel 0, jne teisel pool.Võtleme näiteks algebralise võrrandi. 5×2 + 7x – 9 = 4×2 + x – 18 saab lihtsustada väärtuseks x2 + 6x + 9 = 0, mis on ruutkujul. Suuremate x astmetega võrrandid, nagu x3, x4 jne, ei saa olla ruutvõrrandid. . Need on kuupvõrrandid, kvartvõrrandid ja nii edasi, välja arvatud juhul, kui võrrandit saab lihtsustada, et kõrvaldada need x-i liikmed, mis on suuremad kui 2.
5
Ruutvõrrandites, kus a = 1, koefitsient (x+d )(x+e), kus d × e = c ja d + e = b. Kui teie ruutvõrrand on kujul x2 + bx + c = 0 (teisisõnu, kui x2 liikme koefitsient = 1), on võimalik (kuid mitte garanteeritud), et arvutamiseks saab kasutada suhteliselt lihtsat otseteed. võrrand. Leidke kaks arvu, mis mõlemad korrutavad, et saada c ja liidetakse, et saada b. Kui leiate need kaks arvu d ja e, asetage need järgmisesse avaldisse: (x+d)(x+e). Nende kahe termini korrutamisel saadakse ruutvõrrand – teisisõnu on need ruutvõrrandi tegurid. Näiteks vaatleme ruutvõrrandit x2 + 5x + 6 = 0. 3 ja 2 korrutades saadakse 6 ja ka liitke 5, et saaksime seda võrrandit (x + 3)(x + 2) võrrandiks lihtsustada. Selle põhiotsetee puhul on väiksemaid variatsioone võrrandi enda puhul: kui ruutvõrrand on kujul x2-bx +c, teie vastus on järgmisel kujul: (x – _)(x – _).Kui see on kujul x2+bx+c, näeb teie vastus välja selline: (x + _)(x + _). Kui see on kujul x2-bx-c, on teie vastus kujul (x + _)(x – _). Märkus: lünkades olevad numbrid võivad olla murd- või kümnendkohad. Näiteks võrrand x2 + (21/2)x + 5 = 0 kordab (x + 10) (x + 1/2).
6
Kui võimalik, kaaluge kontrollimise teel. Uskuge või mitte, aga lihtsate ruutvõrrandite puhul on üheks aktsepteeritud faktooringu meetodiks lihtsalt probleemi uurimine, seejärel lihtsalt kaaluge võimalikke vastuseid, kuni leiate õige. Seda tuntakse ka kui kontrolliga faktooringut. Kui võrrand on kujul ax2+bx+c ja a>1, on teie faktoriga vastus kujul (dx +/- _)(ex +/- _), kus d ja e on nullist erinevad arvkonstandid, mis korrutavad teha a. Kas d või e (või mõlemad) võivad olla number 1, kuigi see ei pruugi nii olla. Kui mõlemad on 1, olete sisuliselt kasutanud ülalkirjeldatud otseteed. Vaatleme probleemi näidet. 3×2 – 8x + 4 tundub alguses hirmutav. Kui aga mõistame, et 3-l on ainult kaks tegurit (3 ja 1), muutub see lihtsamaks, sest teame, et meie vastus peab olema kujul (3x +/- _)(x +/- _). Sel juhul annab õige vastuse, kui lisada mõlemale tühjale väljale -2. -2 × 3x = -6x ja -2 × x = -2x. -6x ja -2x lisatakse -8x. -2 × -2 = 4, seega näeme, et sulgudes olevad faktorid korrutatakse, et saada algseks võrrandiks.
7
Lahendage ruutu täites. Mõnel juhul saab ruutvõrrandeid kiiresti ja lihtsalt arvesse võtta spetsiaalse algebralise identiteedi abil. Iga ruutvõrrand kujul x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Seega, kui teie võrrandis on teie b väärtus kaks korda suurem ruutjuurest teie c väärtusest, võib teie võrrandi arvutada (x + (sqrt(c)))2. Näiteks sobib võrrand x2 + 6x + 9 see vorm. 32 on 9 ja 3 × 2 on 6. Seega teame, et selle võrrandi faktorite vorm on (x + 3)(x + 3) või (x + 3)2.
8
Kasutage ruutvõrrandite lahendamiseks tegureid. Sõltumata sellest, kuidas te oma ruutväljendit arvestate, saate pärast seda, kui see on faktoristatud, leida võimalikud vastused x väärtusele, määrates iga teguri võrdseks nulliga ja lahendades. Kuna otsite x väärtusi, mille tõttu teie võrrand on võrdne nulliga, on teie ruutvõrrandi võimalik vastus x väärtus, mis muudab ühe teie teguritest nulliks. Pöördume tagasi võrrandi x2 + 5x + 6 = 0 juurde. . See võrrand on koefitsient (x + 3)(x + 2) = 0. Kui üks teguritest on 0, võrdub kogu võrrand 0-ga, seega on meie võimalikud vastused x-le arvud, mis moodustavad (x + 3) ja ( x + 2) võrdub 0. Need arvud on vastavalt -3 ja -2.
9
Kontrolli oma vastuseid – mõned neist võivad olla kõrvalised! Kui olete leidnud võimalikud vastused küsimusele x, ühendage need uuesti oma algsesse võrrandisse, et näha, kas need on õiged. Mõnikord ei põhjusta leitud vastused algse võrrandi võrdsust nulliga, kui need uuesti vooluvõrku ühendatakse. Nimetame neid vastuseid kõrvalisteks ja jätame need tähelepanuta. Ühendame -2 ja -3 x2 + 5x + 6 = 0-ga. Esiteks -2 :(-2)2 + 5(-2) + 6 = 04 + -10 + 6 = 00 = 0. See on õige, seega -2 on õige vastus. Proovime nüüd -3:(-3)2 + 5(-3) + 6 = 09 + -15 + 6 = 00 = 0. See on samuti õige, seega on ka -3 õige vastus.
10
Kui võrrand on kujul a2-b2, tuleb see koefitsiendiga (a+b)(a-b). Kahe muutujaga võrrandid toimivad erinevalt põhiruutarvudest. Iga võrrandi a2-b2 korral, kus a ja b ei võrdu 0-ga, on võrrandi tegurid (a+b)(a-b). Näiteks võrrand 9×2 – 4y2 = (3x + 2y)(3x – 2y).
11
Kui võrrand on kujul a2+2ab+b2, korrutage see väärtusega (a+b)2. Pange tähele, et kui trinoom on kujul a2-2ab+b2, on faktorite vorm veidi erinev: (a-b)2. Võrrandi 4×2 + 8xy + 4y2 saab ümber kirjutada kujule 4×2 + (2 × 2 × 2)xy + 4y2. Nüüd näeme, et see on õigel kujul, nii et võime kindlalt öelda, et meie võrrandi tegurid (2x + 2y)2
12
Kui võrrand on kujul a3-b3, arvutage see (a-b)(a2+ab+b2). Lõpuks väärib mainimist, et kuupmeetrit ja isegi kõrgemat järku võrrandeid saab faktoreerida, kuigi faktooringu protsess muutub kiiresti ülemäära keeruliseks. Näiteks 8×3 – 27y3 tegurid (2x – 3a)(4×2 + ((2x)(3a)) + 9a2)