Funktsiooni vahemik on arvude kogum, mida funktsioon suudab luua. Teisisõnu, see on y-väärtuste kogum, mille saate, kui ühendate funktsiooniga kõik võimalikud x-väärtused. Seda võimalike x-väärtuste kogumit nimetatakse domeeniks. Kui soovite teada, kuidas funktsiooni vahemikku leida, järgige neid samme.
1
Kirjutage valem üles. Oletame, et valem, millega töötate, on järgmine: f(x) = 3×2 + 6x -2. See tähendab, et kui asetate võrrandisse suvalise x, saate oma y väärtuse. See on parabooli funktsioon.
2
Leidke funktsiooni tipp, kui see on ruutkeskne. Kui töötate sirgjoonega või mõne paaritu arvu polünoomiga funktsiooniga, näiteks f(x) = 6×3+2x + 7, võite selle sammu vahele jätta. Kuid kui töötate parabooliga või mis tahes võrrandiga, kus x-koordinaat on ruudus või tõstetud ühtlase astmeni, peate tipu joonistama. Selleks kasutage lihtsalt funktsiooni 3×2 + 6x -2 x-koordinaadi saamiseks valemit -b/2a, kus 3 = a, 6 = b ja -2 = c. Sel juhul on -b -6 ja 2a on 6, seega on x-koordinaat -6/6 või -1. Nüüd ühendage -1 funktsiooniga, et saada y-koordinaat. f(-1) = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = 3 – 6 -2 = -5.Tipp on (-1,-5). Joonistage see, joonistades punkti, kus x-koordinaat on -1 ja kus y-koordinaat on -5. See peaks asuma graafiku kolmandas kvadrandis.
3
Otsige funktsioonist üles veel mõned punktid. Funktsiooni aimu saamiseks peaksite ühendama veel mõned x-koordinaadid, et saaksite enne vahemiku otsimist aimu, milline funktsioon välja näeb. Kuna see on parabool ja x2 koordinaat on positiivne, on see suunatud ülespoole. Kuid lihtsalt oma aluste katmiseks ühendame mõned x-koordinaadid, et näha, millised y-koordinaadid need annavad: f(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) -2 = -2. Üks punkt graafikul on (-2, -2)f(0) = 3(0)2 + 6(0) -2 = -2. Teine punkt graafikul on (0,-2)f(1) = 3(1)2 + 6(1) -2 = 7. Kolmas punkt graafikul on (1, 7).
4
Leidke graafikult vahemik. Nüüd vaadake graafikul olevaid y-koordinaate ja leidke madalaim punkt, kus graafik puudutab y-koordinaati. Sel juhul on madalaim y-koordinaat tipus -5 ja graafik ulatub lõpmatult sellest punktist kõrgemale. See tähendab, et funktsiooni vahemik on y = kõik reaalarvud ≥ -5.
5
Leia funktsiooni miinimum. Otsige funktsiooni madalaimat y-koordinaati. Oletame, et funktsioon saavutab oma madalaima punkti –3. See funktsioon võib ka järjest väiksemaks muutuda lõpmatult, nii et sellel poleks määratud madalaimat punkti – lihtsalt lõpmatus.
6
Leia funktsiooni maksimum. Oletame, et kõrgeim y-koordinaat, milleni funktsioon jõuab, on 10. See funktsioon võib ka lõpmatult suureneda, nii et sellel ei ole seatud kõrgeimat punkti – lihtsalt lõpmatus.
7
Märkige vahemik. See tähendab, et funktsiooni vahemik ehk y-koordinaatide vahemik jääb vahemikku -3 kuni 10. Niisiis, -3 ≤ f(x) ≤ 10. See on funktsiooni vahemik. Aga oletame, et graafik saavutab oma madalaima punkti y = -3, kuid läheb igavesti ülespoole. Siis on vahemik f(x) ≥ -3 ja ongi kõik. Oletame, et graafik saavutab kõrgeima punkti 10 juures, kuid langeb igaveseks. Siis on vahemik f(x) ‰¤ 10.
8
Kirjutage seos üles. Relatsioon on järjestatud paaride kogum x ja y koordinaatidega. Saate vaadata seost ja määrata selle domeeni ja ulatuse. Oletame, et töötate järgmise seosega: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}.
9
Loetlege seose y-koordinaadid. Seose vahemiku leidmiseks kirjutage lihtsalt üles iga järjestatud paari kõik y-koordinaadid: {-3, 6, -1, 6, 3}.
10
Eemaldage kõik topeltkoordinaadid, nii et teil oleks igast y-koordinaadist ainult üks. Märkate, et olete kaks korda loendis “6”. Võtke see välja nii, et teile jääks {-3, -1, 6, 3}.
11
Kirjutage seose ulatus kasvavas järjekorras. Nüüd järjestage numbrid komplektis ümber nii, et liigute väikseimast suurimaks ja teil on oma vahemik. Seose {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} vahemik on {-3,-1, 3, 6}. Kõik on tehtud.
12
Veenduge, et seos oleks funktsioon. Et seos oleks funktsioon, peab iga kord, kui sisestate x-koordinaadi ühe arvu, y-koordinaat olema sama. Näiteks seos {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} ei ole funktsioon, sest kui panid 2 esimest korda x-ina, saadi 3, kuid teisel korral pane 2, saad nelja. Et seos oleks funktsioon, kui sisestate sama sisendi, peaksite alati saama sama väljundi. Kui sisestate -7, peaksite saama iga kord sama y-koordinaadi (mis iganes see ka poleks).
13
Lugege probleemi. Oletame, et töötate järgmise probleemiga: “Becky müüb pileteid oma kooli talendisaatele hinnaga 5 dollarit tükk. Tema kogutav rahasumma sõltub sellest, kui palju pileteid ta müüb. Mis on funktsiooni ulatus? ”
14
Kirjutage probleem funktsioonina. Sel juhul tähistab M tema kogutud rahasummat ja t tema müüdud piletite kogust. Kuna aga iga pilet maksab 5 dollarit, peate rahasumma leidmiseks müüdud piletite summa 5-ga korrutama. Seetõttu saab funktsiooni kirjutada kujul M(t) = 5t. Näiteks kui ta müüb 2 piletit, peate 2 korrutama 5-ga, et saada 10 ehk tema saadav dollarisumma.
15
Määrake domeen. Vahemiku määramiseks peate esmalt leidma domeeni. Domeen on kõik t võimalikud väärtused, mis võrrandis töötavad. Sel juhul võib Becky müüa 0 või enam piletit – negatiivseid pileteid ta müüa ei saa. Kuna me ei tea tema kooli auditooriumi kohtade arvu, võime eeldada, et teoreetiliselt võib ta müüa lõpmatu arvu pileteid. Ja ta saab müüa ainult terveid pileteid; ta ei saa müüa näiteks 1/2 piletist. Seetõttu on funktsiooni domeeniks t = mis tahes mittenegatiivne täisarv.
16
Määrake vahemik. Vahemik on võimalik rahasumma, mille Becky saab oma müügist teenida. Vahemiku leidmiseks peate domeeniga koostööd tegema. Kui teate, et domeen on mis tahes mittenegatiivne täisarv ja valem on M(t) = 5t, siis teate, et saate väljundi või vahemiku saamiseks selle funktsiooniga ühendada mis tahes mittenegatiivse täisarvu. Näiteks kui ta müüb 5 piletit, siis M(5) = 5 x 5 ehk 25 dollarit. Kui ta müüb 100, siis M(100) = 5 x 100 ehk 500 dollarit. Seetõttu on funktsiooni vahemik mis tahes mittenegatiivne täisarv, mis on viiekordne. See tähendab, et iga mittenegatiivne täisarv, mis on viiekordne, on funktsiooni sisendi võimalikuks väljundiks.